Applicazione del Dini e retta tangente

[Paccio1]

Ho un punto precisamente (1,1,1) e due vincoli F(x,y,z)=0 e G(x,y,z)=0 e devo verificare che esistano le funzioni implicite y=f(x) e z=g(x). Come si procede? Credo di non aver capito fino in fondo il Dini.

L'altro esercizio mi dice di trovare la retta tangente alla funzione $f(x,y)=x^3+y^3-4x^2y+2$:
Io l'ho svolto cosi, mi son trovato un punto singolare e precisamente (1,1) infatti f(1,1)=0, dopodichè mi son calcolato le derivate parziali $f(x)=3x^2-8xy$ e $f(y)=3y^2-4x^2$ calcolate nel punto (1,1): $f(x)(1,1)=-5$ e $f(y)(1,1)=-1$. Ricordandomi che l'espressione della retta tangente è: $f(x)(x0,y0)(x-x0)+f(y)(x0,y0)(y-y0)=0$ sostituendo i valori mi trovo che $y=-5x+6$.
La domanda è: ho ragionato bene? C'era un altro modo per risolvere l'esercizio? Per trovare i punti singolari o stazionari bisognava mettere a sistema le derivate parziali o basta verificare che f(x,y)=0? Io non l'ho fatto perchè la mia prof. l'ha risolto cosi. In attesa di risposte ringrazio in anticipo.

[.: Fix You :.1]

Per il primo punto credo tu abbia una funzione $f(x,y,z)$ su cui verificare le ipotesi del dini sui vincoli giusto?

Credo si debba procedere in questo modo (ti dico credo perche' finora l'ho visto solo in 2 variabili non in 3):

- trovi i punti che annullano $f(x,y,z)$ e in questo caso credo di aver capito che il punto sia (1,1,1) e verifica che appartenga al vincolo. Se si procedi:

se $(delf)/(dely) (1,1,1)!= 0$ allora esiste $y=y(x)$

se $(delf)/(delz) (1,1,1)!= 0$ allora esiste $z=g(x)$

dall'esercizio non capisco comunque se deve soddisfare contemporaneamente i vincoli: se si' allora penso che quando hai trovato il tuo punto (1,1,1) che annulla $f(x,y,z)$ deve soddisfare entrambe le condizioni $F(1,1,1)=0$ e $G(1,1,1)=0$

spero di non aver cannato