Applicazione del criterio di condensazione di Cauchy

[Gmork]

Data la serie [tex]\sum \frac{1}{n\ln^{2}(\ln n)}[/tex]

applicando il criterio di condensazione di Cauchy, ho scritto:

[tex]\sum 2^n\frac{1}{2^{n}\ln^{2}(\ln 2^n)}=\sum \frac{1}{2\ln n +\ln 4}[/tex]

e non so più come continuare

[gugo82]

Faccio notare che [tex]$\ln^2(\ln 2^n) =\ln^2 (n\ln 2) =\left( \ln n +\ln \ln 2\right)^2 \neq 2 \ln n+\ln 4$[/tex]...

Per continuare, prova a confrontare (definitivamente) con la serie armonica.

[Gmork]

Ho fatto in questo modo:

[tex]\frac{1}{\ln^{2}(\ln(2^n)}[/tex]

se ho capito bene lo devo ricondurre al confronto

[tex]\frac{1}{\ln n}>\frac{1}{n}[/tex]

giusto?

Ma c'è quel quadrato che mi confonde non poco

EDIT:
Ho fatto questo ragionamento ma non so se è giusto. So che [tex]n>\ln n[/tex] ma sinceramente non so se la quantità presente al denominatore del termine generale, ovvero [tex]\ln^{2}(n\ln2)[/tex] è anch'esso minore di [tex]n[/tex]; allora ho sviluppato il quadrato suggerito da gugo82:

[tex](\ln n+\ln(\ln2))^2=\ln^{2}(n)+\ln^{2}(\ln n)+2\ln n\ln (\ln2)[/tex];

mi sono accorto che dividendo tutti i termini per [tex]n[/tex] e calcolandone i limiti, questi sono tutti pari a 0. Ne ho dedotto che [tex](\ln n+\ln(\ln2))^2[/tex]è un infinito di ordine inferiore ad n e pertanto la serie che ha termine generale il suo inverso è divergente essendo tale termine maggiore di [tex]\frac{1}{n}[/tex]. Ho sbagliato qualcosa?

[Gmork]

(mi domando se ho fatto bene a modificare anzichè rispondere. In tal caso, chiedo scusa :O )