Applicazione Corollario del criterio del confronto nello studio del comportamento di una serie, sto sbagliando o no?
Salve a tutti, dovrei studiare il carattere della serie seguente $\sum_{k=1}^\infty (n^{2/3} (sin(1/n)-1/n^\alpha))$ al variare del parametro reale positivo $\alpha$ ed allora ottengo che:
se $0<\alpha<=2/3$ La serie risulta divergente in quanto il limite del termine generale della serie non converge a zero, quindi non viene rispettata la condizione necessaria per la convergenza della serie
se $2/3<\alpha$ procedo come segue
$\sum_{k=1}^\infty (n^{2/3} (sin(1/n)-1/n^\alpha)) = \sum_{k=1}^\infty n^{2/3} sin(1/n)- \sum_{k=1}^\inftyn^{2/3}(1/n^\alpha) = \sum_{k=1}^\infty n^{2/3} sin(1/n)- \sum_{k=1}^\infty 1/n^(\alpha-2/3) $
Indicando con $A= \sum_{k=1}^\infty n^{2/3} sin(1/n)$ e con $ B= \sum_{k=1}^\infty 1/n^(\alpha-2/3)$ si ha che
La serie $B$ converge se $\alpha-2/3>1$ ovvero $\alpha>5/3$ per le condizioni di convergenza della serie armonica generalizzata;
La serie $A$ confrontandola con la serie $C= \sum_{k=1}^\infty n^{2/3} (1/n)$ e calcolando il limite del quoziente dei termini generali delle due serie ottengo che $\lim_{n \to \infty}( n^{2/3} sin(1/n))/( n^{2/3} (1/n)) =1$ quindi le due serie sono equigrandi, allora otterrò che $A= \sum_{k=1}^\infty n^{2/3} sin(1/n) ~ \sum_{k=1}^\infty n^{2/3} (1/n)=C$ ma poichè $C= \sum_{k=1}^\infty n^{2/3} (1/n) =\sum_{k=1}^\infty n^(-1/3) =\sum_{k=1}^\infty 1/n^(1/3)$ la serie $C$ e di conseguenza la serie $A$ risultano sempre divergenti (per le condizioni di convergenza della serie armonica generalizzata).
Quindi se $5/3<\alpha$ tutta la serie $\sum_{k=1}^\infty n^{2/3} sin(1/n)- \sum_{k=1}^\infty 1/n^(\alpha-2/3)$ risulta divergente in quanto differenza di una serie divergente ed una convergente.
Se invece $5/3=\alpha$ otterrò:
$\sum_{k=1}^\infty n^{2/3} sin(1/n)-1/n = \sum_{k=1}^\infty n^{2/3} sin(1/n)-\sum_{k=1}^\infty1/n$ e nuovamente essendo $A= \sum_{k=1}^\infty n^{2/3} sin(1/n) ~ \sum_{k=1}^\infty n^{2/3} (1/n)=C$
[size=150]IN DEFINITIVA[/size] E' CORRETTO DEDURRE CHE $\sum_{k=1}^\infty n^{2/3} sin(1/n)-1/n ~ \sum_{k=1}^\infty n^{2/3} (1/n)-1/n = \sum_{k=1}^\infty 1/n^(1/3)-1/n$ ??? Ovvero se la serie A è asintotica con la serie C ($A ~C$) è corretto dedurre che A-B è asintotica con C-B ($A-B ~C-B$) ?
se fosse corretto posso studiare tranquillamente il caso rimanente $2/3<\alpha<5/3$
se $0<\alpha<=2/3$ La serie risulta divergente in quanto il limite del termine generale della serie non converge a zero, quindi non viene rispettata la condizione necessaria per la convergenza della serie
se $2/3<\alpha$ procedo come segue
$\sum_{k=1}^\infty (n^{2/3} (sin(1/n)-1/n^\alpha)) = \sum_{k=1}^\infty n^{2/3} sin(1/n)- \sum_{k=1}^\inftyn^{2/3}(1/n^\alpha) = \sum_{k=1}^\infty n^{2/3} sin(1/n)- \sum_{k=1}^\infty 1/n^(\alpha-2/3) $
Indicando con $A= \sum_{k=1}^\infty n^{2/3} sin(1/n)$ e con $ B= \sum_{k=1}^\infty 1/n^(\alpha-2/3)$ si ha che
La serie $B$ converge se $\alpha-2/3>1$ ovvero $\alpha>5/3$ per le condizioni di convergenza della serie armonica generalizzata;
La serie $A$ confrontandola con la serie $C= \sum_{k=1}^\infty n^{2/3} (1/n)$ e calcolando il limite del quoziente dei termini generali delle due serie ottengo che $\lim_{n \to \infty}( n^{2/3} sin(1/n))/( n^{2/3} (1/n)) =1$ quindi le due serie sono equigrandi, allora otterrò che $A= \sum_{k=1}^\infty n^{2/3} sin(1/n) ~ \sum_{k=1}^\infty n^{2/3} (1/n)=C$ ma poichè $C= \sum_{k=1}^\infty n^{2/3} (1/n) =\sum_{k=1}^\infty n^(-1/3) =\sum_{k=1}^\infty 1/n^(1/3)$ la serie $C$ e di conseguenza la serie $A$ risultano sempre divergenti (per le condizioni di convergenza della serie armonica generalizzata).
Quindi se $5/3<\alpha$ tutta la serie $\sum_{k=1}^\infty n^{2/3} sin(1/n)- \sum_{k=1}^\infty 1/n^(\alpha-2/3)$ risulta divergente in quanto differenza di una serie divergente ed una convergente.
Se invece $5/3=\alpha$ otterrò:
$\sum_{k=1}^\infty n^{2/3} sin(1/n)-1/n = \sum_{k=1}^\infty n^{2/3} sin(1/n)-\sum_{k=1}^\infty1/n$ e nuovamente essendo $A= \sum_{k=1}^\infty n^{2/3} sin(1/n) ~ \sum_{k=1}^\infty n^{2/3} (1/n)=C$
[size=150]IN DEFINITIVA[/size] E' CORRETTO DEDURRE CHE $\sum_{k=1}^\infty n^{2/3} sin(1/n)-1/n ~ \sum_{k=1}^\infty n^{2/3} (1/n)-1/n = \sum_{k=1}^\infty 1/n^(1/3)-1/n$ ??? Ovvero se la serie A è asintotica con la serie C ($A ~C$) è corretto dedurre che A-B è asintotica con C-B ($A-B ~C-B$) ?
se fosse corretto posso studiare tranquillamente il caso rimanente $2/3<\alpha<5/3$
Risposte
quello che hai scritto è confuso ....
La prima cosa che puoi osservare è che la serie mantiene segno costante, quindi il criterio del confronto asintotico lo puoi utilizzare; inoltre, sapendo che
\[\sin x= x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3),\qquad x\to 0,\]
hai che il termine generale lo puoi scrivere come:
\[x^{2/3}\left(\sin\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{\alpha}}\right)=x^{2/3}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{6n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right)+\frac{1}{n^{\alpha}}\right);\]
a questo punto puoi fare la discussione al variare di $\alpha\in RR^+.$
La prima cosa che puoi osservare è che la serie mantiene segno costante, quindi il criterio del confronto asintotico lo puoi utilizzare; inoltre, sapendo che
\[\sin x= x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3),\qquad x\to 0,\]
hai che il termine generale lo puoi scrivere come:
\[x^{2/3}\left(\sin\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{\alpha}}\right)=x^{2/3}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{6n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right)+\frac{1}{n^{\alpha}}\right);\]
a questo punto puoi fare la discussione al variare di $\alpha\in RR^+.$
Senza utilizzare Sviluppi di Taylor o Maclaurin devo risolverlo, ordini del professore, ho sbagliato a menzionare criterio del confronto asintotico, intendo criterio del confronto e Corollari vari. Riguardo la domanda posta è giusta o sbagliata la deduzione?
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