Applicare definizione di continuità im un esercizio facile
Ciao a tutti,
Conosco la definizione di continuità in questo modo
$AA$ $\epsilon$ >0 $EE$ $\delta$ >0 tale che se |x-p|< $\delta$ allora |f(x) - f(p)| < $\epsilon$
Devo applicarla per dimostrare che alcune funzioni sono continue.
Pongo la domanda con un esempio semplice come una retta qualsiasi, esempio f(x) = 2x + 1
Da come ho capito sostituisco le f(x) in questo modo: |2x+1-2p-1| e arrivo a dire che |x-p| < $\epsilon/2$
Ora non capisco il passaggio logico successivo, so che |x-p| è minore di epsilon mezzi ma anche di delta...e poi?
Ma epsilon e delta non hanno lo stesso identico valore vero? Io all inizio pongo un epsilon e delta dipende da epsilon giusto? Cioè son maggiori di zero entrambi e puo essere (e solitamente é cosi) che uno sia maggiore dell altro ed é indifferente quale giusto?
Graficamente credo di aver capito la definizione ma ho problemi nell applicarla negli esercizi...non vedo dove eta la dipendenza di delta da epsilon nello svolgimento e nell definizione...
Scusate il romanzo, sono un po confusa!
Grazie mille mille per l'aiuto!
Conosco la definizione di continuità in questo modo
$AA$ $\epsilon$ >0 $EE$ $\delta$ >0 tale che se |x-p|< $\delta$ allora |f(x) - f(p)| < $\epsilon$
Devo applicarla per dimostrare che alcune funzioni sono continue.
Pongo la domanda con un esempio semplice come una retta qualsiasi, esempio f(x) = 2x + 1
Da come ho capito sostituisco le f(x) in questo modo: |2x+1-2p-1| e arrivo a dire che |x-p| < $\epsilon/2$
Ora non capisco il passaggio logico successivo, so che |x-p| è minore di epsilon mezzi ma anche di delta...e poi?
Ma epsilon e delta non hanno lo stesso identico valore vero? Io all inizio pongo un epsilon e delta dipende da epsilon giusto? Cioè son maggiori di zero entrambi e puo essere (e solitamente é cosi) che uno sia maggiore dell altro ed é indifferente quale giusto?
Graficamente credo di aver capito la definizione ma ho problemi nell applicarla negli esercizi...non vedo dove eta la dipendenza di delta da epsilon nello svolgimento e nell definizione...
Scusate il romanzo, sono un po confusa!
Grazie mille mille per l'aiuto!
Risposte
Ciao!
La definizione precisa di continuità è:
$$\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta_{\epsilon} >0 : 0<|x-p|< \delta_{\epsilon} \Rightarrow |f(x)-f(p)|<\epsilon$$
La scrittura $\delta_{\epsilon}$ significa che potenzialmente $\delta$ potrebbe dipendere da $\epsilon$.
Quindi per dimostrare la continuità in un punto $p$ si fissa un $\epsilon$ e si procede esattamente come hai fatto tu; una volta pervenuta all'espressione $|x-p|<\frac{\epsilon}{2}$ hai finito perché hai trovato $\delta_{\epsilon}=\frac{\epsilon}{2}$.
Se infatti vale $ 0<|x-p|< \frac{\epsilon}{2}$ allora $|f(x)-f(p)|<\epsilon$ che è la definizione di continuità.
Il rapporto tra $\epsilon$ e $\delta$ cioè chi sia maggiore o minore è ininfluente.
La definizione precisa di continuità è:
$$\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta_{\epsilon} >0 : 0<|x-p|< \delta_{\epsilon} \Rightarrow |f(x)-f(p)|<\epsilon$$
La scrittura $\delta_{\epsilon}$ significa che potenzialmente $\delta$ potrebbe dipendere da $\epsilon$.
Quindi per dimostrare la continuità in un punto $p$ si fissa un $\epsilon$ e si procede esattamente come hai fatto tu; una volta pervenuta all'espressione $|x-p|<\frac{\epsilon}{2}$ hai finito perché hai trovato $\delta_{\epsilon}=\frac{\epsilon}{2}$.
Se infatti vale $ 0<|x-p|< \frac{\epsilon}{2}$ allora $|f(x)-f(p)|<\epsilon$ che è la definizione di continuità.
Il rapporto tra $\epsilon$ e $\delta$ cioè chi sia maggiore o minore è ininfluente.
Grazie millissime 
Di niente!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo