Applcare taylor su log(cos(3x))
Come posso procedere?
Io ho provato a fare
$log(1+t) = bla bla bla$
$cos(3x) = 1 + t$
$x = arccos(1+t)/3$
Ma non sono sicuro della soluzione...
Io ho provato a fare
$log(1+t) = bla bla bla$
$cos(3x) = 1 + t$
$x = arccos(1+t)/3$
Ma non sono sicuro della soluzione...
Risposte
Io farei così:
$log(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}$...
$cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}$...
dove t=cos(x)-1 che è semore maggiore o uguale a 0 e quindi il logaritmo è definito. Quindi si ha:
$log(cos[x])=log(1+cos(x)-1)=cos(x)-1-\frac{(cos[x]-1)^2}{2}+\frac{(cos[x]-1)^3}{3}$...
e sostituendo a cos(x) il suo sviluppo di Taylor:
$log(cos[x])=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}$...
Questa è la mia idea... non sono sicuro però che sia giusta, comuque a questo link puoi trovare un grafico della funzione log(cos(x)) [in grigio] e dell'espansione di taylor come l'ho fatta io [in nero]: http://www.allfreeportal.com/imghost/viewer.php?id=896913Img1.jpg
$log(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}$...
$cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}$...
dove t=cos(x)-1 che è semore maggiore o uguale a 0 e quindi il logaritmo è definito. Quindi si ha:
$log(cos[x])=log(1+cos(x)-1)=cos(x)-1-\frac{(cos[x]-1)^2}{2}+\frac{(cos[x]-1)^3}{3}$...
e sostituendo a cos(x) il suo sviluppo di Taylor:
$log(cos[x])=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}$...
Questa è la mia idea... non sono sicuro però che sia giusta, comuque a questo link puoi trovare un grafico della funzione log(cos(x)) [in grigio] e dell'espansione di taylor come l'ho fatta io [in nero]: http://www.allfreeportal.com/imghost/viewer.php?id=896913Img1.jpg
mi pare di aver capito che vuoi sviluppare la funzione $log(cos(3x))$ prendendo naturalmente come punto iniziale 0.
Se parti dallo sviluppo del coseno tutto diventa più facile (diciamo che per esempio vuoi sviluppare fino al secondo ordine)
$=log(1-9/2x^2+o(x^2))=-9/2x^2+o(x^2)$
Se poi devi essere più formale poni $t=3x$ e quindi fai lo sviluppo di $cost$ e ottieni $log(1-t^2/2+o(t^2))$ ovvero $log(1-9/2x^2+o(x^2)$
ora prendi $s=-9/2x^2+o(x^2)$ e quindi hai $log(1+s)$ che sviluppi in $s+o(s)$ ovvero $-9/2x^2+o(x^2)$
Se parti dallo sviluppo del coseno tutto diventa più facile (diciamo che per esempio vuoi sviluppare fino al secondo ordine)
$=log(1-9/2x^2+o(x^2))=-9/2x^2+o(x^2)$
Se poi devi essere più formale poni $t=3x$ e quindi fai lo sviluppo di $cost$ e ottieni $log(1-t^2/2+o(t^2))$ ovvero $log(1-9/2x^2+o(x^2)$
ora prendi $s=-9/2x^2+o(x^2)$ e quindi hai $log(1+s)$ che sviluppi in $s+o(s)$ ovvero $-9/2x^2+o(x^2)$
Perfetto! Chiarissimo!
E per fare tipo $sen(x)^2$?
Divido in $sen(x)*sen(x)$?
E per fare tipo $sen(x)^2$?
Divido in $sen(x)*sen(x)$?
diciamo che intendi $(sinx)^2$
quindi si fare $sinx*sinx$ è giusto. Praticamente puoi fare $=(x-x^3/3+o(x^3))^2$
quindi si fare $sinx*sinx$ è giusto. Praticamente puoi fare $=(x-x^3/3+o(x^3))^2$
Perfetto. Chiederei un ultimo favore su questo limite
$lim_(x->0) (-7x^2+2sqrt(7x^2-1)-2)/(x^3+3x^2+12x-24log(1-x/2))$
Usando Taylor, ho scomposto il logaritmo
$lim_(x->0) (-7x^2+2sqrt(7x^2-1)-2)/(x^3+3x^2+12x-24(x/2 -(x^2)/8 + (x^3)/24 + o(x^4)))$
Quindi
$lim_(x->0) (-7x^2+2sqrt(7x^2-1)-2)/(x^3+3x^2+12x-12x+3/2*x^2+x^3+ o(x^4)) = -14/9$
Ma il risultato non concorda.
$lim_(x->0) (-7x^2+2sqrt(7x^2-1)-2)/(x^3+3x^2+12x-24log(1-x/2))$
Usando Taylor, ho scomposto il logaritmo
$lim_(x->0) (-7x^2+2sqrt(7x^2-1)-2)/(x^3+3x^2+12x-24(x/2 -(x^2)/8 + (x^3)/24 + o(x^4)))$
Quindi
$lim_(x->0) (-7x^2+2sqrt(7x^2-1)-2)/(x^3+3x^2+12x-12x+3/2*x^2+x^3+ o(x^4)) = -14/9$
Ma il risultato non concorda.
alt!
ho visto una montagna di simboli, ma non ho esaminato tutto. c'è una radice quadrata il cui dominio è $(-oo, -sqrt(7)/7]uu[sqrt(7)/7, +oo)$. già questo basta per dire che la funzione non è definita nell'intorno di $0$, quindi il limite non si può trovare (non ha senso cercare il limite, cosa più forte rispetto ad affermare che il limite non esiste).
tutto questo se il testo è giusto. ricontrolla.
quale dovrebbe essere il risultato secondo il testo?
ciao.
ho visto una montagna di simboli, ma non ho esaminato tutto. c'è una radice quadrata il cui dominio è $(-oo, -sqrt(7)/7]uu[sqrt(7)/7, +oo)$. già questo basta per dire che la funzione non è definita nell'intorno di $0$, quindi il limite non si può trovare (non ha senso cercare il limite, cosa più forte rispetto ad affermare che il limite non esiste).
tutto questo se il testo è giusto. ricontrolla.
quale dovrebbe essere il risultato secondo il testo?
ciao.
"Vincent":
Perfetto. Chiederei un ultimo favore su questo limite
$lim_(x->0) (-7x^2+2sqrt(7x^2-1)-2)/(x^3+3x^2+12x-24log(1-x/2))$
Sicuro di averlo scritto bene? 0 non mi sembra un punto di accumulazione epr questa funzione.
Forse ho sbagliato a scriverla?
http://www.francococca.com/estrai_articolo.asp?id=70
Il terzo esercizio sulla sinistra
http://www.francococca.com/estrai_articolo.asp?id=70
Il terzo esercizio sulla sinistra
"Vincent":
Forse ho sbagliato a scriverla?
http://www.francococca.com/estrai_articolo.asp?id=70
Il terzo esercizio sulla sinistra
Neanche lo sforzo di controllare tu se avevi sbagliato a scrivere oppure no! Comunque si ti dico che hai sbagliato a scriverla
Non è la noia il problema. -.-'
Non è facile copiare espressioni così lunghe.
Non è facile copiare espressioni così lunghe.
Nessuno vuole costringerti a copiare cose così lunghe però invece di dire forse ho sbagliato a scrivere potevi dire si mi sono imbrogliato su questo link c'è l'esercizio corretto.
Comunqe il risultato di quel limite è proprio $98/3$. Cosa sbagli? Comunque ti dico che devi sviluppare fino al quarto ordine. Se vuoi posta qualche passaggio e vediamo di capire dove è l'inghippo.
Comunqe il risultato di quel limite è proprio $98/3$. Cosa sbagli? Comunque ti dico che devi sviluppare fino al quarto ordine. Se vuoi posta qualche passaggio e vediamo di capire dove è l'inghippo.
L'esercizio l'ho già svolto sopra. Ciò che non mi convince è la radice quadrata con $7x^2$ sotto.
Devo considerarlo come infinitesimo di ordine 1?
Devo considerarlo come infinitesimo di ordine 1?
tu hai $(1-7x^2)^(1/2)$. Poni $s=-7x^2$ quindi hai $(1+s)^(1/2)$ che sviluppi in $1+s/2-s^2/8+o(s^2)$ ovvero in $1+7/2x^2-49/8x^4+o(x^4)$. Vai a mettere quest'espressione nel numeratore della tua funzione e ottieni $-49/4x^4+o(x^4)$.
Comunque anche il denominatore è sbagliato. Deve venire $-3/8x^4+o(x^4)$
Comunque anche il denominatore è sbagliato. Deve venire $-3/8x^4+o(x^4)$
Scusa qualcosa mi sfugge: hai sviluppato la funzione radice come serie di Taylor?
Ecco questo non cel'hanno fatto fare.
Ecco questo non cel'hanno fatto fare.
si ho sviluppato la funzione radice come serie di Taylor (in realtà si sviluppa la funzione $(1+x)^a$ ) ma se non vi hanno spiegato questo sviluppo non credo che puoi risolvere quel limite (almeno non immediatamente)
Eh no, non ce lo hanno spiegato, e il mio testo non ne riporta lo sviluppo
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