Appartenenza ad uno spazio L^P
Salve ragazzi,questo è uno di quei problemi ai quali non riesco mai a trovare risposta, nel senso che trovo pareri contrastanti ovunque, quindi chiedo a voi.
Come faccio a dimostrare che una funzione appartiene o meno ad uno spazio $ L^p $ ?
La mia definizione di spazio L^p è che una funzione appartiene ad uno spazio L^p se:
$ int |f(x)|^p dx < propto $
Detto questo non capisco come far capire che è minore di infinito, cioè come sfruttare queste cose..
Per esempio ho questa funzione:
$ sin x / x^(2/3) $
Devo dimostrare se tale funzione è sommabile, dovrei scrivere quindi:
$ int |sinx/ x^(2/3) | dx < propto $ ma come svolgo questo calcolo? proprio non so da dove partire...
Come faccio a dimostrare che una funzione appartiene o meno ad uno spazio $ L^p $ ?
La mia definizione di spazio L^p è che una funzione appartiene ad uno spazio L^p se:
$ int |f(x)|^p dx < propto $
Detto questo non capisco come far capire che è minore di infinito, cioè come sfruttare queste cose..
Per esempio ho questa funzione:
$ sin x / x^(2/3) $
Devo dimostrare se tale funzione è sommabile, dovrei scrivere quindi:
$ int |sinx/ x^(2/3) | dx < propto $ ma come svolgo questo calcolo? proprio non so da dove partire...
Risposte
A quale insieme è esteso l'integrale?
Ricordi i criteri di convergenza degli integrali impropri (Analisi I)?
Usali.
Ricordi i criteri di convergenza degli integrali impropri (Analisi I)?
Usali.
"gugo82":
A quale insieme è esteso l'integrale?
Ricordi i criteri di convergenza degli integrali impropri (Analisi I)?
Usali.
Tra 0 e infinito, l'avevo omesso
...Sinceramente non li ricordo molto bene, provo ad usarli e vedo cosa ne esce...
Ho provato a svolgere...
Sono partito dalla convergenza in L^1 quindi ho posto
$ int |sinx/( x^(2/3)) | dx $
quindi ho preso quella funzione e ho cercato di maggiorarla con altre
Diciamo che ho visto che converge per x-> infinito perché si maggiora con $ 1/(x^(2/3)) $
mentre per x-> a 0 non riesco a dimostrarlo..
E' giusto ciò che ho scritto?
Sono partito dalla convergenza in L^1 quindi ho posto
$ int |sinx/( x^(2/3)) | dx $
quindi ho preso quella funzione e ho cercato di maggiorarla con altre
Diciamo che ho visto che converge per x-> infinito perché si maggiora con $ 1/(x^(2/3)) $
mentre per x-> a 0 non riesco a dimostrarlo..
E' giusto ciò che ho scritto?
Sinceramente riprovando e riprovando, non riesco a trovare la soluzione... Il fatto è che non ho ben capito:
1) perché per appartenenza a uno spazio Lp devo fare il modulo dell'integrale, ma a volte, vedo alcuni libri che non lo fanno (per esempio sinx/x in L2, tra 0 e infinito il libro mi fa vedere la quantità senza modulo, ma per appartenere a L2 non bisogna fare i limiti con il modulo? E quando verrebbe?
2) non capisco come fare i confronti quando il modulo di una quantità tende a zero o a infinito... Conosco solo le stime asintotiche a zero (tipo sinx/x -> 1 per x -> 0 , ma non so quanto vale all'infinito per dire... come si vede? )
Proprio non ho le idee chiare... A livello teorico ho studiato, ma non ho mai capito questo genere di applicazioni...
1) perché per appartenenza a uno spazio Lp devo fare il modulo dell'integrale, ma a volte, vedo alcuni libri che non lo fanno (per esempio sinx/x in L2, tra 0 e infinito il libro mi fa vedere la quantità senza modulo, ma per appartenere a L2 non bisogna fare i limiti con il modulo? E quando verrebbe?
2) non capisco come fare i confronti quando il modulo di una quantità tende a zero o a infinito... Conosco solo le stime asintotiche a zero (tipo sinx/x -> 1 per x -> 0 , ma non so quanto vale all'infinito per dire... come si vede? )
Proprio non ho le idee chiare... A livello teorico ho studiato, ma non ho mai capito questo genere di applicazioni...
1) Per il caso di \(L^2\) il modulo è irrilevante visto che l'integranda è elevata al quadrato. Ricorda inoltre che c'è un teorema che dice che una funzione è Lebesgue-integrabile se e solo se lo è il suo modulo.
2) Devi usare i teoremi a cui si riferiva gugo, per esempio quelli di confronto asintotico.
2) Devi usare i teoremi a cui si riferiva gugo, per esempio quelli di confronto asintotico.
"Raptorista":
1) Per il caso di \(L^2\) il modulo è irrilevante visto che l'integranda è elevata al quadrato. Ricorda inoltre che c'è un teorema che dice che una funzione è Lebesgue-integrabile se e solo se lo è il suo modulo.
2) Devi usare i teoremi a cui si riferiva gugo, per esempio quelli di confronto asintotico.
Perché è irrilevante? Cioè da L^2 in poi non si usa il modulo? Neanche per L^3, L^4...?
Inoltre non capisco: L^1 è lo spazio più grande, ma ci sono funzioni che non appartengono ad L^1 ma che appartengono ad L^2, non dovrebbe valere il contrario? Essendo L^1 più grande dovrebbe raccogliere tutte le funzioni,no?
È irrilevante perché \(f(x)^2 = |f(x)|^2 \) nel caso reale scalare, e lo stesso vale per ogni esponente pari.
Chi ha detto che \(L^1\) è il più grande? Anzi, su domini limitati vale proprio l'inclusione opposta, il che ne farebbe "il più piccolo".
Chi ha detto che \(L^1\) è il più grande? Anzi, su domini limitati vale proprio l'inclusione opposta, il che ne farebbe "il più piccolo".
"Raptorista":
È irrilevante perché \(f(x)^2 = |f(x)|^2 \) nel caso reale scalare, e lo stesso vale per ogni esponente pari.
Chi ha detto che \(L^1\) è il più grande? Anzi, su domini limitati vale proprio l'inclusione opposta, il che ne farebbe "il più piccolo".
Ah giusto, nel senso che nei reali il modulo quadro è il quadrato della funzione stessa dato che è sempre positiva.... non ci avevo pensato..
Il libro fa apparire come L^infinito il più piccolo, L^1 il più grande che contiene gli altri ( Il Barozzi, se ce l'hai pagina 70...)...
A questo punto mi sorge una domanda...
In una domanda di esame c'è scritto:
dimostrare che $ e^-x cosx / sqrt(x) $ appartiene a $ L^1 $ e non a $ L^2 $ ...
Da qui si presuppone che $ L^1 $ sia più grande, o sbaglio?
L'intervallo è $ R+ $
Sbagli: dati due insiemi \(A\) e \(B\) non è vero che \(A \subseteq B \vee B \subseteq A\).
Gli spazi \(L^p(\Omega)\) non sono necessariamente inscatolati: addirittura lo sono in un modo per alcune scelte di \(\Omega\), lo sono in un altro per altre scelte di \(\Omega\).
Gli spazi \(L^p(\Omega)\) non sono necessariamente inscatolati: addirittura lo sono in un modo per alcune scelte di \(\Omega\), lo sono in un altro per altre scelte di \(\Omega\).
"Raptorista":
Sbagli: dati due insiemi \(A\) e \(B\) non è vero che \(A \subseteq B \vee B \subseteq A\).
Gli spazi \(L^p(\Omega)\) non sono necessariamente inscatolati: addirittura lo sono in un modo per alcune scelte di \(\Omega\), lo sono in un altro per altre scelte di \(\Omega\).
Quindi ho sempre ragionato male, allora perché come detto, il libro porta una cosa (cioè fa capire che L^1 è il più grande) e l'esempio è concorde con quello che dice il libro? Nel senso che si capisce che L^1 è il più grande L^2 è più piccolo...
ps: sai dove posso trovare esercizi sulla sommabilità delle funzioni? Magari svolti... Dato che in giro trovo solo studi della convergenza dell'integrale, ma a me serve studiare la sommabilità...
"Nasmil":
Diciamo che ho visto che converge per x-> infinito perché si maggiora con $ 1/(x^(2/3)) $
mentre per x-> a 0 non riesco a dimostrarlo..
Stai attento, hai confuso i criteri di convergenza! Vale infatti che \(\displaystyle \frac{1}{x^{\alpha}} \) è integrabile in \(\displaystyle (1,\infty) \) per \(\displaystyle \alpha>1 \), mentre è integrabile in \(\displaystyle (0,1) \) per \(\displaystyle \alpha <1 \). Lo ricordi facilmente perché \(\displaystyle \alpha \) deve apparte all'intervallo su cui la funzione è integrabile.
Ora: devi trovare il valore giusto di \(\displaystyle \alpha \) per il quale puoi applicare con successo il teorema del confronto asintotico. Quand'è così, se non vedi ad occhio qual è il valore più comodo confronta la tua integranda con \(\displaystyle \frac{1}{x^{\alpha}} \) al variare di \(\displaystyle \alpha \in \mathbb R \), ovvero studia
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{|\sin x |}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\alpha} \)
al variare di \(\displaystyle \alpha \in \mathbb R \).
"Oznerol.92":
[quote="Nasmil"]
Diciamo che ho visto che converge per x-> infinito perché si maggiora con $ 1/(x^(2/3)) $
mentre per x-> a 0 non riesco a dimostrarlo..
Stai attento, hai confuso i criteri di convergenza! Vale infatti che \(\displaystyle \frac{1}{x^{\alpha}} \) è integrabile in \(\displaystyle (1,\infty) \) per \(\displaystyle \alpha>1 \), mentre è integrabile in \(\displaystyle (0,1) \) per \(\displaystyle \alpha <1 \). Lo ricordi facilmente perché \(\displaystyle \alpha \) deve apparte all'intervallo su cui la funzione è integrabile.
Ora: devi trovare il valore giusto di \(\displaystyle \alpha \) per il quale puoi applicare con successo il teorema del confronto asintotico. Quand'è così, se non vedi ad occhio qual è il valore più comodo confronta la tua integranda con \(\displaystyle \frac{1}{x^{\alpha}} \) al variare di \(\displaystyle \alpha \in \mathbb R \), ovvero studia
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{|\sin x |}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\alpha} \)
al variare di \(\displaystyle \alpha \in \mathbb R \).[/quote]
Ciao, grazie per la risposta, avrei due domande:
1) perché hai messo il lim x -> infinito mettendo il modulo solo al numeratore e non al denominatore?
2) So che il sinx per x->0 è confrontabile con x^1, lo posso guardare anche usando la sua serie di Taylor.. Ma per il modulo come posso agire? In particolare non so mai come confrontare i moduli di seno e coseno con altre funzioni e per la sommabilità il modulo è indispensabile,inoltre all'infinito come si comportano seno e coseno? Sono periodici li metto direttamente uguali a 1? Sia quando c'è il modulo sia quando non c'è?. Non so se mi sono spiegato...
ps: nel caso che abbiamo considerato per x-> infinito la funzione (in modulo) non può convergere o sbaglio?
1) Non c'è bisogno di citare tutto il messaggio. Basta un estratto, oppure, come in questo caso, un commento del tipo "grazie pincopallino per la risposta".
2) Pensa un attimo prima di scrivere, o comunque in generale soffermati di più a leggere quello che viene scritto.
Detto ciò, il modulo lo levi perché stai facendo un limite per \(\displaystyle x \rightarrow +\infty \), e quindi puoi assumere \(\displaystyle x >0 \).
Uguale per lo studio dei moduli di altre funzioni: se stai studiando \(\displaystyle |\sin x | \) vicino \(\displaystyle x=0 \) con l'obiettivo di studiare l'integrale su \(\displaystyle (0,\infty) \), allora puoi supporre \(\displaystyle x \geq 0 \). Il confronto quindi lo fai calcolando
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{|sinx|}{x}= \lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{sinx}{x} =1\)
Ti faccio osservare poi un'altra cosa: il modulo è una funzione continua! Quindi se sai che
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{\sin x}{x}=1\)
allora hai che
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0 } \left \vert { \frac{\sin x}{x} } \right \vert = \left \vert { \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{\sin x}{x} } \right \vert =|1|=1\)
2) Pensa un attimo prima di scrivere, o comunque in generale soffermati di più a leggere quello che viene scritto.
Detto ciò, il modulo lo levi perché stai facendo un limite per \(\displaystyle x \rightarrow +\infty \), e quindi puoi assumere \(\displaystyle x >0 \).
Uguale per lo studio dei moduli di altre funzioni: se stai studiando \(\displaystyle |\sin x | \) vicino \(\displaystyle x=0 \) con l'obiettivo di studiare l'integrale su \(\displaystyle (0,\infty) \), allora puoi supporre \(\displaystyle x \geq 0 \). Il confronto quindi lo fai calcolando
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{|sinx|}{x}= \lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{sinx}{x} =1\)
Ti faccio osservare poi un'altra cosa: il modulo è una funzione continua! Quindi se sai che
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{\sin x}{x}=1\)
allora hai che
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0 } \left \vert { \frac{\sin x}{x} } \right \vert = \left \vert { \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{\sin x}{x} } \right \vert =|1|=1\)
"Nasmil":
allora perché come detto, il libro porta una cosa (cioè fa capire che L^1 è il più grande) e l'esempio è concorde con quello che dice il libro? Nel senso che si capisce che L^1 è il più grande L^2 è più piccolo...
Il fatto che esista un esempio è irrilevante ai fini di una tesi. Non so cosa ci sia scritto sul libro che hai di fronte; magari da qualche parte specifica una clausola che non hai visto, non lo so.
Fatto sta che è facile trovare dei controesempi: se prendi \(\Omega = [0,1]\), allora la funzione costante \(f(x) = 1\) appartiene a \(L^\infty(\Omega)\) e anche a \(L^2(\Omega)\), a \(L^1(\Omega)\) e a \(L^p(\Omega)\) per ogni \(p\).
Se invece scegli \(\Omega = \mathbb{R}\) allora la stessa funzione \(f(x) = 1\) appartiene a \(L^\infty(\Omega)\) ma non più, per esempio, a \(L^1(\Omega)\).
1)... 2)...
Hai ragione, scusa, non volevo intasare il topic.
Detto ciò, il modulo lo levi perché stai facendo un limite per x→+∞, e quindi puoi assumere x>0.
Spesso mi trovo di fronte ad integrali che vanno da 0 a infinito... Nel momendo in cui studio la sommabilità della funzione, quindi vedo se appartiene ad L^1, posso togliere il modulo dato che x > 0 ? In pratica studiare l'integrabilità e la sommabilità diventa poi la stessa cosa?
Per quanto riguarda il limite del modulo non sapevo fosse il modulo del limite e questo è un'ottimo risultato.
Mi rendo conto che faccio domande un po' banali, il fatto è che questo argomento è trattato in maniera diversa da vari testi, molti dei quali mostrano le tipologie più comuni di convergenza, ma quasi nessun testo mostra questioni riguardo la sommabilità, se non in maniera puramente teorica. Poi ovviamente è anche colpa mia, magari non apprezzo bene l'argomento e lo prendo in maniera troppo pesante...
comunque, sia detto en passant:
ps: sai dove posso trovare esercizi sulla sommabilità delle funzioni? Magari svolti... Dato che in giro trovo solo studi della convergenza dell'integrale, ma a me serve studiare la sommabilità..."Studiare la sommabilità" in fin dei conti si riduce a studiare la convergenza di un integrale improprio. Quindi le due cose in pratica sono la stessa. Ecco perché ti sembra di non trovare esercizi "sulla sommabilità".
[quote=dissonance][/quote]
Nel senso che alla fine tutti gli "esercizi" sono fatti su intervalli in cui non ci vuole modulo quindi studiare la sommabilità equivale a studiare la convergenza dell'integrale?
Nel senso che alla fine tutti gli "esercizi" sono fatti su intervalli in cui non ci vuole modulo quindi studiare la sommabilità equivale a studiare la convergenza dell'integrale?
Insomma il tuo problema è il modulo. Se ti danno un esercizio senza modulo lo sai fare, altrimenti no? Mi sembra più un blocco psicologico che altro.
"dissonance":
Insomma il tuo problema è il modulo. Se ti danno un esercizio senza modulo lo sai fare, altrimenti no? Mi sembra più un blocco psicologico che altro.
Dipende...
Per esempio se ho che devo studiare la sommabilità all'infinito di cosx/x^2, dico che è sommabile perché il modulo del coseno è minore uguale a 1 per x - > infinito.
Se devo studiare una cosa del genere in zero direi che non è integrabile perché il cosx per x-> 0 vale circa x, per cui per x-> 0 avrei 1/x, di conseguenza non è integrabile in 0. Ma questo l'ho detto perché non ho il modulo, mentre se devo valutare $ |cosx/x^2| non capisco se posso "sbarazzarmene" essendo il modulo una funzione continua ed essendo in un intervallo non negativo oppure no...
Diciamo che il modulo lo uso a "convenienza", quando riesco a usarlo lo uso, altrimenti no...
Ma no, $\cos x$ è circa $1$ quando $x\to 0$, forse ti confondi con il seno. Per il resto, ribadisco che è solo un blocco psicologico. A te serve capire come studiare la convergenza degli integrali. Capito quello, studiare la "sommabilità" delle funzioni è un semplice corollario.
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