Appartenenza ad uno spazio L^P

[nasmil]

Salve ragazzi,questo è uno di quei problemi ai quali non riesco mai a trovare risposta, nel senso che trovo pareri contrastanti ovunque, quindi chiedo a voi.

Come faccio a dimostrare che una funzione appartiene o meno ad uno spazio $ L^p $ ?
La mia definizione di spazio L^p è che una funzione appartiene ad uno spazio L^p se:
$ int |f(x)|^p dx < propto $

Detto questo non capisco come far capire che è minore di infinito, cioè come sfruttare queste cose..

Per esempio ho questa funzione:
$ sin x / x^(2/3) $
Devo dimostrare se tale funzione è sommabile, dovrei scrivere quindi:
$ int |sinx/ x^(2/3) | dx < propto $ ma come svolgo questo calcolo? proprio non so da dove partire...

[nasmil]

"dissonance":Ma no, $\cos x$ è circa $1$ quando $x\to 0$, forse ti confondi con il seno. Per il resto, ribadisco che è solo un blocco psicologico. A te serve capire come studiare la convergenza degli integrali. Capito quello, studiare la "sommabilità" delle funzioni è un semplice corollario.

Si mi sono confuso, il coseno dato che si può vedere facilmente con Taylor è 1 per x -> 0

Il fatto è che non capisco come mai sommabilità e convergenza degli integrali siano diversi tra loro e vadano di pari passo. Vedere se converge con la sommabilità credo sia più "importante" che vedere la convergenza dell'ìntegrale, perché è un teorema più potente, però che mi viene richiesto a fare se poi coincide negli intervalli positivi con lo studio della convergenza dell'integrale?

[dissonance]

Secondo me devi solo fare un po' di pratica, non ti fissare con questa faccenda del valore assoluto.

[nasmil]

"dissonance":Secondo me devi solo fare un po' di pratica, non ti fissare con questa faccenda del valore assoluto.

Sicuramente hai ragione... A volte prendo fissazioni inutili.
Mi chiedevo... Come dimostro che uno spazio appartenga o meno a $ L^(infty) $ ?
Devo elevare il modulo all'infinito... Ma come si svolgerebbe una cosa del genere?

[Sk_Anonymous]

"Nasmil":[...]
Mi chiedevo... Come dimostro che uno spazio appartenga o meno a $ L^propto $ ?
Devo elevare il modulo all'infinito... Ma come si svolgerebbe una cosa del genere?

Sono le funzioni a poter appartenere ad uno spazio funzionale come \(L^\infty (\Omega)\), non gli spazi (cosa significherebbe?).

Comunque se \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^N\) è un aperto, resta definito \[L^\infty(\Omega) := \{ f: \Omega \to \mathbb{R} \, : \, f \text{ misurabile e } \text{ess sup} |f| < \infty \} \] ove \[\text{ess sup} |f| := \inf \{ c>0 \, : \, |f(x)|\le c \text{ quasi ovunque in } \Omega \}.\]

[nasmil]

"Delirium":[quote="Nasmil"][...]
Mi chiedevo... Come dimostro che uno spazio appartenga o meno a $ L^propto $ ?
Devo elevare il modulo all'infinito... Ma come si svolgerebbe una cosa del genere?

Sono le funzioni a poter appartenere ad uno spazio funzionale come \(L^\infty (\Omega)\), non gli spazi (cosa significherebbe?).

Comunque se \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^N\) è un aperto, resta definito \[L^\infty(\Omega) := \{ f: \Omega \to \mathbb{R} \, : \, f \text{ misurabile e } \text{ess sup} |f| < \infty \} \] ove \[\text{ess sup} |f| := \inf \{ c>0 \, : \, |f(x)|\le c \text{ quasi ovunque in } \Omega \}.\][/quote]
Grazie mille, quindi devo trovare il sup di f e vedere se in modulo appartiene all'insieme...
In generale non ho mai visto funzioni non appartenere a $ L^(infty) $

[dissonance]

Si scrive \$ L^\infty \$ o al limite \$ L^(oo) \$, non usare il simbolo \propto \(\propto\) che significa completamente un'altra cosa.

[nasmil]

Non lo sapevo, rimedierò.

[dissonance]

In ogni modo, non devi "trovare il sup e vedere se appartiene all'insieme" (???). Quello è un modo per richiedere che la funzione sia *limitata*. Le funzioni $L^\infty$ sono le funzioni limitate, con qualche magheggio per ricordare che tutto è definito "quasi ovunque".

[nasmil]

"dissonance":

C'è qualche esempio di funzione non appartenenze a questo spazio?

[dissonance]

Fallo da solo. Devi scrivere una funzione non limitata. Ne conosci a bizzeffe di sicuro, basta citarne una.