Apertura e chiusura di un insieme

[anti-spells]

Stabilire per quali $\alpha in RR$ l'insieme
$K_\alpha = {(x,y) in RR^2 | -2 < -\alphax^2 + y^2 + 2y <= 1}$

è chiuso, aperto, nè chiuso nè aperto, è compatto

Qualcuno può darmi una dritta per questo? Come posso cominciare? In generale non capisco come iniziare a studiare chiusura e aperti di $RR$ , pensavo di ricondurmi allo studio di un'ellisse ma non arrivo a nulla

[Reyzet]

Io ci provo, visto che vedo un papabile quadrato di binomio (altrimenti manco ci provavo). Qualcuno mi corregga nel caso.

Intanto poniamo $-\alpha=p$ e osserviamo che è equivalente a studiare l'insieme: $E={(x,y)\in \mathbb(R)^2|-1 1)$p>0$, in questo caso è evidente che che la diseguaglianza a sinistra è soddisfatta a priori perché $-1<0\leq px^2+(y+1)^2\leq 2$, e pertanto penso si possa concludere che tutti i punti stiano nella chiusura di E (difatti spuntano gli uguali sulle diseguaglianze e quella cosa è continua volendo possiamo osservare che se $(a,b)$ sta nella chiusura di E, allora esiste $(x_{n},y_{n})$ contenuta in E che vi tende, allora avremmo che $-1 Cioè E è chiuso. Peraltro si può vedere che essendo $px^2+(y+1)^2\leq 2$ avremmo che (somma di quantità non negative) $px^2 \leq 2$ e cioè $x\in [-\sqrt(2/p),\sqrt(2/p)]$ e così $y\in[-\sqrt(2)-1,\sqrt(2)-1]$ cioè E è contenuto nel rettangolo e quindi è limitato. Cioè E è compatto.
2)$p=0$, ragionamenti simili danno che è chiuso ma non limitato perché contiene sicuramente una striscia di piano (volendo ci trovi tutta la retta $y=-1$)
3)$p<0$, qui è la nota dolente per me.
Riesco a vedere solo che non è chiuso (e compatto) perché per esempio il punto $(1/\sqrt(-p),-1)$ dà -1 perciò sta nella chiusura ma non in E.
Devo però pensare un po' se è aperto o meno, cioè capire se i punti in cui quella quantità è 2 è frontiera o meno.

[anto_zoolander]

Io direi che $f_(alpha)(x,y)=-alphax^2+y^2+2y$ è una funzione continua per ogni $alpha inRR$

Inoltre $A={(x,y) inRR^2|-2
Il primo è chiuso, il secondo è aperto.
Il chiuso è sempre un sottoinsieme proprio di $RR^2$ non vuoto in quanto la funzione in almeno un punto supera $1$ essendo illimitata e in $(0,0)$ sta sempre sotto. Quindi prova a ragionare sull’aperto

[anti-spells]

"anto_zoolander":Io direi che $f_(alpha)(x,y)=-alphax^2+y^2+2y$ è una funzione continua per ogni $alpha inRR$

Inoltre $A={(x,y) inRR^2|-2
Il primo è chiuso, il secondo è aperto.
Il chiuso è sempre un sottoinsieme proprio di $RR^2$ non vuoto in quanto la funzione in almeno un punto supera $1$ essendo illimitata e in $(0,0)$ sta sempre sotto. Quindi prova a ragionare sull’aperto

Grazie a tutti e due, ma il ragionamento di Reyzet non è corretto? Lo chiedo perchè ragionare in questo modo mi sembra molto più naturale.

Adesso proverò a riflettere un po' su quell' aperto, ma in generale non so dire più di quello è stato detto sopra:

$\-alphax^2 + y^2 + 2y > -2 <=> -\alphax^2 + (y+1)^2 > -1$ sempre vero $AA \alpha <= 0$ quindi la chiusura è in $(-2,+infty)$

[dissonance]

Certo che il ragionamento di Reyzet è corretto. Quel ragionamento risolve completamente il caso delle p non negative. Anto ha fatto solo un commento.

[anto_zoolander]

Si infatti era un commento.
Voleva essere un approccio più topologico.

Se può servire, propongo ora una soluzione per $alpha<0$

si nota subito che $(0,-1)$ è punto di minimo di una funzione convessa e viene $f_(alpha)(0,-1)=-1>2$ quindi significa che $f_(alpha)^(leftarrow)(-1,infty)$ è tutto $RR^2$ e pertanto quell’insieme risulta chiuso(poiché contro immagine di un chiuso).

Ora considera che $f_(alpha)(x,y)leq1 <=> -alphax^2+y^2+2y+1leq2 <=> -alpha/2x^2+(y+1)^2/2leq1$ quindi $(x,y)$ appartiene ad un’ellisse che è un insieme limitato.

Quindi per $alpha<0$ quell’insieme è compatto poichè chiuso è limitato

[anti-spells]

"anto_zoolander":Si infatti era un commento.
Voleva essere un approccio più topologico.

Se può servire, propongo ora una soluzione per $alpha<0$

si nota subito che $(0,-1)$ è punto di minimo di una funzione convessa e viene $f_(alpha)(0,-1)=-1>2$ quindi significa che $f_(alpha)^(leftarrow)(-1,infty)$ è tutto $RR^2$ e pertanto quell’insieme risulta chiuso(poiché contro immagine di un chiuso).

Ora considera che $f_(alpha)(x,y)leq1 <=> -alphax^2+y^2+2y+1leq2 <=> -alpha/2x^2+(y+1)^2/2leq1$ quindi $(x,y)$ appartiene ad un’ellisse che è un insieme limitato.

Quindi per $alpha<0$ quell’insieme è compatto poichè chiuso è limitato

Ok perfetto, con la freccetta $\leftarrow$ intendi la contro-immagine giusto? Comunque per il caso $\alpha<0$ ho capito come funzionano le cose, per il caso $\alpha>0$ il ragionamento è uguale? Perchè mi sembra non "immediato" come il primo caso, io mi sarei ricondotto allo studio dell'ellisse però non abbiamo mai visto questi argomenti durante il corso

[anti-spells]

Uppo solo per dire che la soluzione per il caso $\alpha>0$ era semplicemente sostituire a $y$ un valore qualsiasi (mettiamo per esempio 1) e vedere che l'intervallo in cui è compresa la $x$ non è nè aperto nè chiuso, quindi per $\alpha>0$ l'insieme non è nè aperto nè chiuso

[dissonance]

Bene! Comunque, una cosa, l'"apertura" di un insieme non significa niente, si parla di "interno" e "chiusura"