Aperto semplicemente connesso

[QuasiIng.Elena]

Ciao ragazzi, piccolo dubbio: ho un dominio costituito da tutto il piano cartesiano escluse le due bisettrici y=x e y=-x .
Posso considerarlo semplicemente connesso oppure sono semplicemente connesse solo le zone delimitate dalle bisettrici? Io so che per dominio semplicemente connesso, si intende, in maniera semplicistica, un dominio in cui presi due punti qualsiasi all'interno del dominio, si può tracciare una congiungente i due punti senza uscire dal dominio.. So per certo che se ad esempio ho un dominio del tipo tutto R escluso il punto (1,1), esso non è un dominio semplicemente connesso ma non riesco a capire se le due rette creano gli stessi problemi dei punti ossia se le due rette possono considerarsi "buchi" come consideriamo i punti in cui non è definita la funzione.
Vi ringrazio!

[yellow2]

Ciao. La definizione a cui fai riferimento è in realtà quella di insieme convesso, che implica semplicemente connesso. La vera definizione di semplice connessione è invece un po' più complicata, ma in maniera semplicistica è un insieme connesso che non ha "buchi". Un insieme nel piano che non è convesso ma è semplicemente connesso è ad esempio uno a forma di banana. Qui manca proprio il fatto di essere connesso, però le quattro componenti connesse sono semplicemente connesse, quindi ad esempio non avrai mai un laccio che fa il giro attorno a un buco.
A cosa ti serve? Stai studiando gli integrali curvilinei?

[QuasiIng.Elena]

Sto studiando le forme differenziali e nell'esercizio mi dà anche il calcolo di un integrale curvineo esteso ad una circonferenza.. Speravo fosse esatta la forma in maniera tale da poter dire che l'integrale è uguale a zero.. Ma piuttosto, se la circonferenza si trova in una delle 4 zone delimitate dalle bisettrici, quindi in una componente connessa, posso comunque dire che l'integrale è zero, vero? Perché lì la forma è chiusa ed esatta.. No?

[yellow2]

Sì è quello il punto! E una curva continua non può che trovarsi tutta nella stessa componente connessa, quindi avrai sempre che l'integrale di una forma chiusa sarà nullo su di un cammino chiuso. E la forma è addirittura globalmente esatta, perché è esatta nelle quattro componenti connesse e puoi formare una primitiva scegliendo a piacere quattro primitive nelle varie zone. L'unica cosa a cui bisogna stare attenti è che la primitiva non è definita "a meno di una costante" ma a meno della scelta di quattro costanti diverse, una per ogni componente connessa.

[QuasiIng.Elena]

Grazie mille, mi hai evitato un integrale curvilineo! Ciao e grazie ancora!