Aperto connesso nel Terema del gradiente nullo
Salve a tutti, è la prima volta che posto una domanda sul forum (sono iscritto da poco) per cui mi scuso già da ora per qualsiasi contravvenzione al regolamento o errore nelle formule (nel caso vi prego di correggermi).
Come da titolo, sto studiando sul testo Elementi di Analisi Matematica 2 di Marcellini-Sbordone e mi sono imbattuto nella dimostrazione del teorema che riguarda le funzioni con gradiente nullo, secondo cui data una funzione derivabile in A, definito come un aperto connesso di $ R^2 $ , se le derivate parziali sono nulle allora f è costante in A
Il teorema inizia affermando che, essendo per ipotesi le derivate parziali di f nulle, e quindi continue in A, allora f è differenzialbile in A (tutto ok fin qui).
Poi viene considerato un punto $ (x_0;y_0) in A $ e vengono introdotti due insiemi a $ A_1 $ e $ A_2 $ tali che:
$ A_1 = { (x,y) in A : f(x,y)=f(x_0,y_0) } $
$ A_2 = { (x,y) in A : f(x,y)!= f(x_0,y_0) } $
Per costruzione dunque abbiamo che $ A = A_1 uu A_2 $ e che $ A_1 nn A_2 = O/ $, cioè i due insiemi sono disgiunti (ok, ci sono ancora).
A questo punto il teorema dice che, "essendo f differenzialbile in A, f è anche continua in A . Dunque l'insieme $ A_2 $ è aperto" (testuali parole). Dopo passa a dimostrare che $ A_1 $ è aperto e continua con la dimostrazione.
Il mio problema è che non capisco il passaggio logico che porta ad arrivare all'apertura di $ A_2 $ dalla continuità di f su A (il pezzo virgolettato, per intenderci).
So che un insieme aperto è un insieme in cui ogni suo punto è un punto interno ma forse mi sfugge qualcosa...
Vi ringrazio in anticipo per il tempo che mi dedicherete.
Come da titolo, sto studiando sul testo Elementi di Analisi Matematica 2 di Marcellini-Sbordone e mi sono imbattuto nella dimostrazione del teorema che riguarda le funzioni con gradiente nullo, secondo cui data una funzione derivabile in A, definito come un aperto connesso di $ R^2 $ , se le derivate parziali sono nulle allora f è costante in A
Il teorema inizia affermando che, essendo per ipotesi le derivate parziali di f nulle, e quindi continue in A, allora f è differenzialbile in A (tutto ok fin qui).
Poi viene considerato un punto $ (x_0;y_0) in A $ e vengono introdotti due insiemi a $ A_1 $ e $ A_2 $ tali che:
$ A_1 = { (x,y) in A : f(x,y)=f(x_0,y_0) } $
$ A_2 = { (x,y) in A : f(x,y)!= f(x_0,y_0) } $
Per costruzione dunque abbiamo che $ A = A_1 uu A_2 $ e che $ A_1 nn A_2 = O/ $, cioè i due insiemi sono disgiunti (ok, ci sono ancora).
A questo punto il teorema dice che, "essendo f differenzialbile in A, f è anche continua in A . Dunque l'insieme $ A_2 $ è aperto" (testuali parole). Dopo passa a dimostrare che $ A_1 $ è aperto e continua con la dimostrazione.
Il mio problema è che non capisco il passaggio logico che porta ad arrivare all'apertura di $ A_2 $ dalla continuità di f su A (il pezzo virgolettato, per intenderci).
So che un insieme aperto è un insieme in cui ogni suo punto è un punto interno ma forse mi sfugge qualcosa...
Vi ringrazio in anticipo per il tempo che mi dedicherete.
Risposte
L'insieme $A_2$ lo puoi vedere come il complementare della controimmagine del punto $f(x_0,y_0)$ attraverso $f$, ovvero:
\[f^{-1}(\{f(x_0,y_0)\})^C\]
Essendo $f$ continua e $\{f(x_0,y_0)\}$ un chiuso, hai che la sua controimmagine è un chiuso e dunque il complementare è aperto.
\[f^{-1}(\{f(x_0,y_0)\})^C\]
Essendo $f$ continua e $\{f(x_0,y_0)\}$ un chiuso, hai che la sua controimmagine è un chiuso e dunque il complementare è aperto.
Ciao Emar, innanzitutto ti ringrazio per la tua disponibilità.
Devo ammettere di aver capito la tua risposta solo alla 3' lettura (ovviamente per mia ignoranza xd) però alla fine credo di esserci riuscito.
Un'altra cosa: la controimmagine del punto $ f(x_0,y_0) $ rispetto a $ f $ non corrisponde ad $ A_1 $ vero?
Perchè in una prima lettura avevo interpretato così la tua spiegazione però non è possibile perchè dopo si dimostra che $ A_1 $ è un insieme aperto, dico bene?
Devo ammettere di aver capito la tua risposta solo alla 3' lettura (ovviamente per mia ignoranza xd) però alla fine credo di esserci riuscito.
Un'altra cosa: la controimmagine del punto $ f(x_0,y_0) $ rispetto a $ f $ non corrisponde ad $ A_1 $ vero?
Perchè in una prima lettura avevo interpretato così la tua spiegazione però non è possibile perchè dopo si dimostra che $ A_1 $ è un insieme aperto, dico bene?
Sono stato un po' frettoloso.
Sì, corrisponde a $A_1$!
Hai:
\[A_1 = f^{-1}(\{f(x_0,y_0)\}) \quad A_1 = f^{-1}(\{f(x_0,y_0)\})^C\]
Un insieme può essere sia aperto che chiuso, in inglese si chiamano clopen set (closed + open).
Due esempi di insiemi che sono sempre aperti e chiusi nello spazio $X$ sono tutto lo spazio ($X$ stesso) e l'insieme vuoto. Ce ne possono essere anche altri.
Se però lo spazio è connesso allora gli unici sono quei due. Se dimostri che un insieme generico in uno spazio connesso è sia aperto che chiuso allora esso o corrisponde a tutto lo spazio, o è vuoto.
Nel tuo caso infatti si potrebbe procedere così:
Per come li abbiamo definiti, $A_1$ è chiuso, essendo controimmagine di un chiuso, e $A_2$ è aperto, essendo controimmagine di un aperto. Sappiamo che $A = A_1 \cup A_2$ e che $A_1 \cap A_2$.
Se dimostriamo che $A_1$ è aperto, esso è clopen. Ma allora lo è anche $A_2$! Infatti \(A_2 = A \setminus A_1 = A_1^C\).
Se l'insieme $A$ è connesso essi possono essere solo $A$ stesso oppure il vuoto. Ma noi sappiamo che $A_1$ non è vuoto, poiché banalmente $(x_0,y_0) \in A_1$ e dunque per forza $A_1 = A$ e $A_2 = \emptyset$, ovvero $f$ è costante su tutto $A$
Non so se il tuo libro procede così, però questo è un argomento dimostrativo molto utilizzato che si basa per l'appunto sui clopen set
Sì, corrisponde a $A_1$!
Hai:
\[A_1 = f^{-1}(\{f(x_0,y_0)\}) \quad A_1 = f^{-1}(\{f(x_0,y_0)\})^C\]
Un insieme può essere sia aperto che chiuso, in inglese si chiamano clopen set (closed + open).
Due esempi di insiemi che sono sempre aperti e chiusi nello spazio $X$ sono tutto lo spazio ($X$ stesso) e l'insieme vuoto. Ce ne possono essere anche altri.
Se però lo spazio è connesso allora gli unici sono quei due. Se dimostri che un insieme generico in uno spazio connesso è sia aperto che chiuso allora esso o corrisponde a tutto lo spazio, o è vuoto.
Nel tuo caso infatti si potrebbe procedere così:
Per come li abbiamo definiti, $A_1$ è chiuso, essendo controimmagine di un chiuso, e $A_2$ è aperto, essendo controimmagine di un aperto. Sappiamo che $A = A_1 \cup A_2$ e che $A_1 \cap A_2$.
Se dimostriamo che $A_1$ è aperto, esso è clopen. Ma allora lo è anche $A_2$! Infatti \(A_2 = A \setminus A_1 = A_1^C\).
Se l'insieme $A$ è connesso essi possono essere solo $A$ stesso oppure il vuoto. Ma noi sappiamo che $A_1$ non è vuoto, poiché banalmente $(x_0,y_0) \in A_1$ e dunque per forza $A_1 = A$ e $A_2 = \emptyset$, ovvero $f$ è costante su tutto $A$
Non so se il tuo libro procede così, però questo è un argomento dimostrativo molto utilizzato che si basa per l'appunto sui clopen set
Hai ragione, cavolo! Non avevo proprio pensato all'eventualità dei clopen.
Comunque no, il mio libro non procede così ma trovo molto più chiara la tua dimostrazione, più che altro perchè ogni passaggio è esplicitato e motivato.
Ti ringrazio nuovamente, sei stato/a gentilissimo/a.
Comunque no, il mio libro non procede così ma trovo molto più chiara la tua dimostrazione, più che altro perchè ogni passaggio è esplicitato e motivato.
Ti ringrazio nuovamente, sei stato/a gentilissimo/a.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo