Aperto $A$ convesso di $R^2$
Data una funzione differenziabile due volte $f:A->R$ su $A$ aperto convesso di $R^2$, dimostra che se $detHf(x,y)=0$ per ogni $(x,y)inA$, allora $f_(x x)(x,y)+f_(yy)(x,y)>0$.
Io so che $A$ è aperto se c'è un intorno dell'elemento tutto contenuto nell'insieme, ergo un insieme senza frontiera. So anche $detHf(x,y)=0$ per ogni $(x,y)inA$, per cui $ [ ( f_(x x) , f_(xy) ),( f_(yx) , f_(yy) ) ] =f_(x x)\cdotf_(yy)-(f_(xy))^2=0 $. Dato che $ (f_(xy))^2>0, AA xyinR^2 $, allora $ -(f_(xy))^2$ è sempre negativo per cui, essendo la loro differenza $=0$, necessariamente $f_(x x)f_(yy)>0$.
Perché però è stato definito $A$ aperto? Era per caso possibile concludere la stessa cosa basandoci solamente sulle proprietà di $A$? Non si poteva arrivare alla stessa conclusione per un $A$ chiuso?
Io so che $A$ è aperto se c'è un intorno dell'elemento tutto contenuto nell'insieme, ergo un insieme senza frontiera. So anche $detHf(x,y)=0$ per ogni $(x,y)inA$, per cui $ [ ( f_(x x) , f_(xy) ),( f_(yx) , f_(yy) ) ] =f_(x x)\cdotf_(yy)-(f_(xy))^2=0 $. Dato che $ (f_(xy))^2>0, AA xyinR^2 $, allora $ -(f_(xy))^2$ è sempre negativo per cui, essendo la loro differenza $=0$, necessariamente $f_(x x)f_(yy)>0$.
Perché però è stato definito $A$ aperto? Era per caso possibile concludere la stessa cosa basandoci solamente sulle proprietà di $A$? Non si poteva arrivare alla stessa conclusione per un $A$ chiuso?
Risposte
Sugli insiemi non aperti non si fa calcolo differenziale, ecco perché è stata *fatta l'ipotesi* che $A$ fosse aperto. (Non è stato *definito* che $A$ fosse aperto, non ti esprimere a capocchia).
La convessità di \(A\) non serve a nulla.
Comunque hai sbagliato a scrivere l'enunciato, è il prodotto delle derivate ad essere positivo e non la somma. Infine, hai scritto che la disuguaglianza è stretta, ma non è vero, la disuguaglianza è \(\ge 0\) e non \(>0\).
La convessità di \(A\) non serve a nulla.
Comunque hai sbagliato a scrivere l'enunciato, è il prodotto delle derivate ad essere positivo e non la somma. Infine, hai scritto che la disuguaglianza è stretta, ma non è vero, la disuguaglianza è \(\ge 0\) e non \(>0\).
hai ragione per il prodotto e non per la somma. per la disuguaglianza stretta, invece, il testo dell'esercizio indica proprio così... in ogni caso grazie!
Ma è sbagliato. Considera \(f(x, y)=x\) e hai un controesempio. Tutte le derivate seconde si annullano. Sicuramente stai dimenticando di trascrivere qualche ipotesi.
l'unica cosa che non ho scritto è che $f_(x x)(x,y)\cdotf_(yy)(x,y)>0 rArr f $ convessa. Per il resto l'esercizio è tutto qua...
Così come è scritto è una affermazione falsa: la funzione \(f(x, y)=x\) ne è un controesempio. Inoltre la convessità non serve a nulla.
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