Aperti e successioni di funzioni
salve a tutti!
non mi è chiara la differenza tra dire che una successione di funzioni converge in $ ]0,+infty[ $ piuttosto di dire che converge in $ [epsilon,+infty[ $ (analogamente in $ [0,+infty[ $ piuttosto che in $ [0,M] $).
prendere un valore $epsilon$ piccolo a piacere non è (quasi per definizione) avvicinarsi a zero in un aperto?
grazie.
non mi è chiara la differenza tra dire che una successione di funzioni converge in $ ]0,+infty[ $ piuttosto di dire che converge in $ [epsilon,+infty[ $ (analogamente in $ [0,+infty[ $ piuttosto che in $ [0,M] $).
prendere un valore $epsilon$ piccolo a piacere non è (quasi per definizione) avvicinarsi a zero in un aperto?
grazie.
Risposte
Dipende dal tipo di convergenza che analizzi e da come prendi \(\varepsilon\).
Ad esempio, se ti limiti alla convergenza puntuale, allora vale l'equivalenza:
\[
(f_n) \text{ converge puntualmente in } ]0,\infty[ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0,\ (f_n) \text{ converge puntualmente in } [\varepsilon ,\infty[\; ;
\]
questo lo puoi dimostrare usando la proprietà di Archimede.
Tuttavia, questa equivalenza la perdi appena passi ad altri modi di convergenza.
Ad esempio, considera la successione di funzioni definite in \(]0,\infty[\) ponendo:
\[
f_n (x) := \min \left\{ n, \frac{1}{x}\right\} = \begin{cases} n &\text{, se } 0< x\leq \frac{1}{n}\\
\frac{1}{x} &\text{, se } \frac{1}{n}\leq x\; .
\end{cases}
\]
Chiaramente, c'è convergenza uniforme in ogni intervallo del tipo \([\varepsilon ,\infty[\) verso la funzione limite \(f(x):=\frac{1}{x}\) (essenzialmente perché la successione di funzioni è definitivamente costante in \([\varepsilon ,\infty[\) per la proprietà di Archimede); tuttavia, la convergenza non è uniforme in tutto \(]0,\infty[\), come si prova con un semplice contariello.
Quindi, per la convergenza uniforme in generale vale solamente l'implicazione:
\[
(f_n) \text{ converge in } ]0,\infty[ \quad \Rightarrow \quad \forall \varepsilon >0,\ (f_n) \text{ converge in } [\varepsilon ,\infty[
\]
e non vale l'inversa.
L'idea che c'è sotto è che in alcuni punti (di accumulazione) dell'insieme dei definizione possono essere presenti "singolarità" che rendono impossibile la convergenza uniforme globale (cioè su tutto l'insieme di definizione); tuttavia, isolando tali punti in una pallina di raggio arbitrariamente piccolo, si riesce a guadagnare convergenza uniforme su un sottoinsieme proprio dell'insieme di definizione (tanto grande quanto si vuole, ma pur sempre più piccolo di tutto il dominio).
Ad esempio, se ti limiti alla convergenza puntuale, allora vale l'equivalenza:
\[
(f_n) \text{ converge puntualmente in } ]0,\infty[ \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0,\ (f_n) \text{ converge puntualmente in } [\varepsilon ,\infty[\; ;
\]
questo lo puoi dimostrare usando la proprietà di Archimede.
Tuttavia, questa equivalenza la perdi appena passi ad altri modi di convergenza.
Ad esempio, considera la successione di funzioni definite in \(]0,\infty[\) ponendo:
\[
f_n (x) := \min \left\{ n, \frac{1}{x}\right\} = \begin{cases} n &\text{, se } 0< x\leq \frac{1}{n}\\
\frac{1}{x} &\text{, se } \frac{1}{n}\leq x\; .
\end{cases}
\]
Chiaramente, c'è convergenza uniforme in ogni intervallo del tipo \([\varepsilon ,\infty[\) verso la funzione limite \(f(x):=\frac{1}{x}\) (essenzialmente perché la successione di funzioni è definitivamente costante in \([\varepsilon ,\infty[\) per la proprietà di Archimede); tuttavia, la convergenza non è uniforme in tutto \(]0,\infty[\), come si prova con un semplice contariello.
Quindi, per la convergenza uniforme in generale vale solamente l'implicazione:
\[
(f_n) \text{ converge in } ]0,\infty[ \quad \Rightarrow \quad \forall \varepsilon >0,\ (f_n) \text{ converge in } [\varepsilon ,\infty[
\]
e non vale l'inversa.
L'idea che c'è sotto è che in alcuni punti (di accumulazione) dell'insieme dei definizione possono essere presenti "singolarità" che rendono impossibile la convergenza uniforme globale (cioè su tutto l'insieme di definizione); tuttavia, isolando tali punti in una pallina di raggio arbitrariamente piccolo, si riesce a guadagnare convergenza uniforme su un sottoinsieme proprio dell'insieme di definizione (tanto grande quanto si vuole, ma pur sempre più piccolo di tutto il dominio).
gentilissimo grazie.
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