Aperti e dimostrazioni Analisi I

[Zkeggia]

Salve, volevo sapere perché in alcuni teoremi di analisi uno riguardo le funzioni derivabili si ha come ipotesi $f:A->RR$ con $A in RR$ aperto. Per esempio il teorema per cui una funzione f derivabile in un punto $x_0$ implica f continua in $x_0$. Nelle ipotesi ho appunto questa assunzione, che però non capisco a cosa serva nella dimostrazione. Stessa cosa per la dimostrazione che la derivata di una funzione inversa è pari a $Df^(-1)(y_0)=1/(f'(x_0))$ con $y_0 = f(x_0)$. Anche qui si dice nelle ipotesi che $f:A->R$, f invertibile e A aperto.

Addirittura quando si introduce il differenziale nel teorema Differenziabile <-> derivabile nelle condizioni affinché questo teorema funzioni si ridice che $f:A->RR$ è aperto. Mi domando perché si parla di aperti: sui chiusi non funziona? non si potrebbe parlare semplicemente di intorni?

[fu^2]

è stato uno dei miei grandi dilemmi all'esame di analisi uno vedo che non sono l'unico eheheh

prendiamo ad esempio il teorema delle funzioni derivabili:

Sia $f:A\to RR$ una funzione derivabile in $x_0\in A$. Allora $f$ è continua in $x_0$.

la dimostrazione si basa sul fatto che $f'(x_0)=lim_{x\to x_0} (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$, quindi $f(x)-f(x_0)=(x-x_0)f'(x_0)+(x-x_0)o(1)$ e passando al limite segue la tesi.

Ora se $A$ fosse chiuso, mettiamo $A=[a,b]$ e $x_0=a$ allora il passaggio al limite dell'uguaglianza $f(x)-f(x_0)=(x-x_0)f'(x_0)+(x-x_0)o(1)$non puoi farlo, essendo che il limite sinistro non è definito nel tuo insieme*

*infatti la definizione di limite in spazi metrici è: Si dice che $f(x):E\sub X_1->X_2$ tende a $l\in X_2$ per $x$ che tende a $p\in X_1$ se per ogni $epsilon>0$ esiste $delta>0$ tc per ogni $x\in E$ tale che $0 Da cui si deduce che nel caso di funzioni reali una funzione è continua in un punto se limite destro e sinistro coincidono.


infatti se hai un chiuso la derivata al bordo la definisci come limite di un intorno o solo sinistro o solo destro della derivata, non entrambi... o sbaglio?... quindi la dimostrazione cambierebbe.


L'aperto serve quindi a derivare ovunque.
Simile è il pensiero degli alti...

Spero di non aver detto sciocchezze, se no...

[Zkeggia]

Ma non si può indebolire le ipotesi parlando semplicemente di intorni? così possiamo parlare anche di validità delle dimostrazioni nel caso dei chiusi, o almeno credo...

[fu^2]

e no perchè se hai chiusi, gli intorni se prendi un punto alla frontiera non sono completamente contenuti nell'insieme, cosa che non succede con gli aperti.

per i punti ai bordi puoi pensare, ma la dimostrazione che c'è scritta per esempio nel mio post non va bene essendo che implica l'uso di un intorno completo.

[Zkeggia]

Ah capisco. Ora si spiega tutto, tipo mistica rivelazione. Questa cosa degli aperti ogni volta la danno nelle ipotesi e nessuno si sofferma a dire il motivo di tutto questo. Che poi uno arriva ai teoremi un po' più sostanziosi, tipo Rolle e Fermat, e ha tutte altre ipotesi, ovver funzioni continue in intervalli chiusi e derivabili negli aperti che si formano togliendo gli estremi agli intervalli chiusi di prima. Meno male che non sono io l'unico che se l'è domandato comunque. I miei compagni di corso non hanno mai sollevato il dubbio...

[Zkeggia]

Io sinceramente pensavo che si dicesse "derivabile in $(a,b)$" perché come ipotesi era più debole di "derivabile in $[a,b]$" quindi c'era un maggior numero di casi che rientrano in queste ipotesi... mi puoi fare un esempio di dimostrazione di uno dei teoremi di prima che valga anche su un intervallo chiuso?

[fu^2]

"Sergio":
Controesempio facile facile (mi pare): qualsiasi funzione è continua in un punto isolato.
Detta in altri termini: la continuità non presuppone l'esistenza di limiti [1]. Prendo la definizione da Rudin (p. 85): dati due spazi metrici $X$ e $Y$, con $E sub X$, una funzione $f:E to Y$ e un punto $p in E$, $f$ viene detta continua in $p$ se per ogni $epsilon >0$ esiste un $delta > 0$ tale che si abbia $d_Y(f(x),f(p))0$ tale che l'unico punto $x in E$ per il quale $d_X(x,p)

boh io ho sempre usato la definizione di limite in cui si sofferma sullo specificare che $d_1(x,p)>0$, ho controllato anche su i libri di analisi 1 che ho usato (giusti e soardi) e riportano questa definizione. La discussione [1] non la conoscevo...

Usando la mia però, così a occhio, si può usare senza problemi il (come lo chiamo io) riciclaggio di successioni per studiare funzioni ovvero il teorema fondamentale

"Siano $(X_1,d_1)$ e $(X_2,d_2)$ spazi metrici, Sia $Esub X_1$ e sia $p\in E'$. Sia $f:E toX_2$ allora sono equivalenti
1)$lim_{x to p} f(x)=l
2)$lim_{n to +oo}f(x_n)=l$ per ogni successione ${x_n}$ tale che $x_n!=p$, $x_n\in E$ e $x_n to p$.

è bene vedere che questo teorema però continua a valere se si definisce limite destro e sinistro: Essi si possono definire principalmente solo in $RR$, prova a dire limite destro in $RR^2$...

"Sergio":
Altro controesempio facile facile (mi pare): se una $f$ per essere continua in $a$ dovesse avere limiti destro e sinistro coincidenti, una funzione $f:[a,b] to RR$ non potrebbe mai essere continua in $[a,b]$, quindi anche in $a$ ed in $b$, ma solo in $(a,b)$.
Non solo. Venendo ai limiti e riprendendo la definizione riportata da fu^2, mi soffermo su "esiste $delta>0$ tc per ogni $x\in E$" e sottolineo "per ogni $x\in E$". Voglio dire che non ha senso, ovviamente, prendere qualche $x$ che non appartenga a $E$ e che, quindi, se ragiono su $a$ di $[a,b]$ non posso volere che il limite in $a$ esista solo se il limite destro (che è definito) è uguale ad un limite sinistro che... non c'è e non ci può essere. Analogamente per $b$.

scusa ma non è un controesempio a quello che ho detto se usi un chiuso ai bordi devi definire il valore in un altro modo, ovvero col solo limite destro o sinistro

considera $f(x)={(1 " se " x<0),(-1 " se " x>=0):}$ studiando la funzione ristretta a $[0,+oo)$ il limite in zero lo puoi definire, ma non puoi farlo se usi l'insieme $[0-gamma,+oo)$.
Quindi studiare nei chiusi richiede l'inserimento di alcune definizioni, che non sono attuabili a generici spazi metrici. Quindi nei chiusi dovresti studiare solo funzioni reali che insomma sono un caso piuttosto particolare... concordi?

[fu^2]

esattamente, ma ai bordi visto che le dimostrazioni sono in spazi metrici, non puoi tenere intorni completi, cosa che puoi ovviare in $RR$ se parli per esempio di continuità, ma non in generale.

[dissonance]

[mod="dissonance"]Ahem. In più punti state facendo passare l'idea che un insieme o è aperto oppure è chiuso. Lo staff di matematicamente.it si dissocia pubblicamente da simili posizioni temerarie e invita eventuali bambini in ascolto a tapparsi le orecchie. Grazie.[/mod]

[Zkeggia]

Però secondo me, a parte per i teoremi sull'"andamento" delle funzioni (tipo quello di Fermat o quello di Rolle) si potrebbe parlare semplicemente di intorni in cui f è continua. Per esempio la dimostrazione della derivata della funzione inversa, basterebbe forse dire "f invertibile e continua in un intorno del punto $x_0$" oppure questo potrebbe inficiare la validità del teorema? Secondo me parlando di intorni si danno dimostrazioni molto più generali e si glissa sulla questione degli aperti/chiusi...

[fu^2]

no perchè l'intorno è un particolare tipo di aperto. Prendere un aperto è molto più generale, $(a,b)uu(c,d)$ è aperto ed è molto diverso da un intorno.
Prendere un intorno a caso significa (almeno in $RR$) prendere un aperto connesso intorno al punto. Per li teorema di Rolle ad esempio dire derivabile in un intorno del punto o richiedere derivabile in $(a,b)$ non fa molta differenza se ci pensi...


In questo caso il gioco sta che se parli di intorni poi devi compattarli per dire della continuità, insomma è più semplice e generale prendere un intervallo chiuso $[a,b]$ e poi aprirlo per dire dove deve essere derivabile.