Antitrasformata zeta
Salve ragazzi,
abbiamo fatto le trasformate z nel nostro corso di metodi matematici, ma sul nostro libro (codegone) è solo accennato, quindi chiedo un aiuto qui
Quando faccio l'antitrasformata z debbo fare l'integrale lungo una curva chiusa centrata nell'origine, ma si prende sempre una circonferenza di raggio 1?
Il problema è che mi trovo da risolvere sempre integrali di linea su questa circoferenza e puntualmente ho dei poli non semplici sulla curva. Sapete come posso risolverli? Il problema è che non posso usare il th dei residui perchè impone che sulla curva ci siano poli semplici..
Grazie a tutti
Marko.
abbiamo fatto le trasformate z nel nostro corso di metodi matematici, ma sul nostro libro (codegone) è solo accennato, quindi chiedo un aiuto qui
Quando faccio l'antitrasformata z debbo fare l'integrale lungo una curva chiusa centrata nell'origine, ma si prende sempre una circonferenza di raggio 1?
Il problema è che mi trovo da risolvere sempre integrali di linea su questa circoferenza e puntualmente ho dei poli non semplici sulla curva. Sapete come posso risolverli? Il problema è che non posso usare il th dei residui perchè impone che sulla curva ci siano poli semplici..
Grazie a tutti
Marko.
Risposte
L'integrale $x(k)=ccZ^(-1)[x(k)]=1/(2pij) oint_gammax(z) z^(k-1)dz$ va calcolato lungo una $gamma$ contentente l'origine e giacente interamente nella regione di analiticità di $X(z)$,
$gamma$ che non è necessariamente la circonferenza $|z|=1$.
$gamma$ che non è necessariamente la circonferenza $|z|=1$.
"elgiovo":
L'integrale $x(k)=ccZ^(-1)[x(k)]=1/(2pij) oint_gammax(z) z^(k-1)dz$ va calcolato lungo una $gamma$ contentente l'origine e giacente interamente nella regione di analiticità di $X(z)$,
$gamma$ che non è necessariamente la circonferenza $|z|=1$.
Quindi se utilizzo il metodo dei residui, dovrò fare la somma di tutti i residui della funzione, giusto?
Grazie per la risposta.
Marko.
Si.
"elgiovo":
Si.
Grazie, gentilissimo
Rieccomi, non volevo aprire un topic nuovo perchè praticamente l'argomento del mio dubbio è l'antitrasformata zeta.
Si tratta di dimostrare che
$Z^-1[Z[x(m)]]=1/(2pij)int_{gamma_R}Z[x(m)]*z^(n-1)dz$
Anzitutto per definizione di trasformata zeta ho:
$1/(2pij)int_{gamma_R}(sum_{m=-oo}^{+oo}x(m)*z^(-m))z^(n-1)dz$
Poichè nel dominio della trasformata c'e convergenza unifrome possiamo fare lo scambio tra serie ed integrale,avremo così:
$i/(2pij)*sum_{m=-oo}^{+oo}[x(m)*int_{gamma_R}z^(-m)*z^(n-1)dz]$
Ora poichè
$i/(2pij)*int_{gamma_R}z^(-m)*z^(n-1)dz={(1,if(-m+n-1=-1)),(0,else):}$
Avremo:
$AAm,n|m=n$
$sum_{m=-oo}^{+oo}x(m)=x(m)$
Non riesco a capire perchè vale l'ultima uguaglianza.
Qualcuno potrebbe spiegrmelo, per cortesia?
Ringrazio in anticipo le eventuali risposte.
Si tratta di dimostrare che
$Z^-1[Z[x(m)]]=1/(2pij)int_{gamma_R}Z[x(m)]*z^(n-1)dz$
Anzitutto per definizione di trasformata zeta ho:
$1/(2pij)int_{gamma_R}(sum_{m=-oo}^{+oo}x(m)*z^(-m))z^(n-1)dz$
Poichè nel dominio della trasformata c'e convergenza unifrome possiamo fare lo scambio tra serie ed integrale,avremo così:
$i/(2pij)*sum_{m=-oo}^{+oo}[x(m)*int_{gamma_R}z^(-m)*z^(n-1)dz]$
Ora poichè
$i/(2pij)*int_{gamma_R}z^(-m)*z^(n-1)dz={(1,if(-m+n-1=-1)),(0,else):}$
Avremo:
$AAm,n|m=n$
$sum_{m=-oo}^{+oo}x(m)=x(m)$
Non riesco a capire perchè vale l'ultima uguaglianza.
Qualcuno potrebbe spiegrmelo, per cortesia?
Ringrazio in anticipo le eventuali risposte.
Intende dire che per ogni coppia $(m,n)$ con $m=n$ la sommatoria si riduce a $x(n)=x(m)$. E' più facile vederlo così:
$1/(2pi j) sum_(m=-oo)^(+oo) [x(m) oint_(gamma_R)z^(n-m-1) d z]=sum_(m=-oo)^(+oo)x(m)delta_(m n)=x(n)$.
$1/(2pi j) sum_(m=-oo)^(+oo) [x(m) oint_(gamma_R)z^(n-m-1) d z]=sum_(m=-oo)^(+oo)x(m)delta_(m n)=x(n)$.
Con quella delta intendi l'indice di Kronecker giusto?
Se è cosi ho capito grazie mille !
Se è cosi ho capito grazie mille !
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo