Antitrasformata di un sistema elementare del 2° ordine

[enpires1]

Salve a tutti! Sto studiando automatica, e mi trovo a dover effettuare l'antitrasformata della risposta al gradino unitario di un sistema elementare del 2° ordine.
Il libro presenta direttamente il risultato, ma io vorrei tentare di arrivarci da solo
Partendo dal fatto che, per un sistema elementare del secondo ordine, la funzione di trasferimento è
[tex]G(s)=\frac{w_n^2}{w_n^2+2\delta w_n s + s^2}[/tex]
la sua risposta al gradino sarà
[tex]G(s)/s=\frac{1}{s}\frac{w_n^2}{w_n^2+2\delta w_n s + s^2}[/tex]
ovvero
[tex]\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{w_n^2+2\delta w_n s + s^2}[/tex]

per antitrasformare quest'ultima, devo cominciare a smanettare con i residui A, B e C.
Se ho capito bene come funziona il calcolo dei residui, ho che per il polo $s=0$ (semplice), il residuo è
[tex]A=(s-0)\frac{G(0)}{s}=G(0)=\frac{w_n^2}{w_n^2}=1[/tex]
Quindi per ora so di poter scrivere la mia funzione come
[tex]\frac{1}{s}+\frac{Bs+C}{w_n^2+2\delta w_n s + s^2}[/tex]

Il problema è ora il calcolo di B e C. Come opero? Devo calcolarmi le soluzioni generiche di $w_n^2+2\delta w_n s + s^2$ e considerarle come possibili poli multipli?

[K.Lomax]

Senza valori espliciti della pulsazione di risonanza e del coefficiente di smorzamento, potresti indicare genericamente i due poli (reali o complessi coniugati) con [tex]s_1, s_2[/tex] e scrivere il polinomio come [tex]s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2=(s-s_1)(s-s_2)[/tex].

[enpires1]

Si ma in questo modo sottintendo che i due poli siano distinti, come faccio a sapere se è realmente così?
Devo distinguere tutti e 3 i casi, cioè poli reali distinti, coincidenti e coniugati?

[K.Lomax]

Senza valori espliciti non vedo come si possa sapere se i poli siano reali o meno. Affinchè essi siano tali deve risultare [tex]\Delta>0[/tex] ovvero [tex]\delta>1[/tex].
Dipende tutto da questo fattore.