Antitrasformata di Laplace e Re(s)

[eskevile89]

Salve ragazzi, stavo facendo degli esercizi sulla antitrasformata di Laplace e ho visto che viene sempre specificata una condizione del tipo Re(s)>0 o Re(s)>1.
Volevo una conferma sul mio ragionamento, ipotizziamo di avere:
$X(s)= 1/(s-1)$ con $Re(s)>1$
Ora l'antitrasformata "standard", fatta senza pensarci troppo su, sarebbe:
$x(t)= e^t$
Ma ho quella condizione, che a quanto ho capito cambierebbe le cose, ovvero, siccome l'antitrasformata è un integrale su cammini paralleli all'asse immaginario, applicando i "lemmi tecnici" di Jordan, avrei che il mio unico polo per $X(s)$ è s=1, che quindi si trova a sinistra di Re(s), quindi:
- t<0 $X(s)=0$
- t>0 $X(s)= e^t$
Ovvero $X(s)= e^t*u(t)$

Se invece avessi avuto $Re(s)>0$ il mio polo si sarebbe trovato a destra di Re(s) e quindi avrei avuto:
$X(s)=-e^t*u(-t)$

Giusto?

[elgiovo]

L'integrale va valutato lungo una qualsiasi linea che si trovi a destra rispetto a tutte le singolarità di $X(s)$, quindi nel caso di $X(s)=1/(s-1)$ è giusto considerare $\text{Re}>1$ in modo da inglobare l'unico polo. Nei casi in cui trovi $\text{Re}>0$ evidentemente i poli sono tutti a parte reale negativa o nell'origine.

[eskevile89]

In realtà me lo danno all'inizio nell'esercizio, forse per complicarlo un po' o forse è fatto in modo che i poli capitino tutti da un lato come dici. Comunque la notazione con il gradino e la distinzione dei due casi va bene?
Grazie.

[elgiovo]

"eskevile89":forse è fatto in modo che i poli capitino tutti da un lato

E' così.

La notazione del gradino è ok, però, per quanto detto, non ha senso distinguere i due casi. L'antitrasformata va fatta per $\text{Re}>1$, punto e basta.

[eskevile89]

Quindi è una cosa che si definisce a priori, come il dominio di una funzione praticamente, poi in effetti quella dovrebbe essere l'ascissa di convergenza della trasformata, giusto?