Antitrasformata di laplace
ciao a tutti , volevo chiedervi come operare con un antitrasformata di questo genere : L^-1(1/(s^2 + 4 )^2 ), non saprei come scomporlo o che formula usare , dal mio libro non trovo un metodo per procedere .grazie
Risposte
Beh, a occhio direi che è un'antitrasformata che va con un seno, no? 
Infatti, ricorda che:
\[
\mathcal{L}\big[\sin (\omega t)\ \operatorname{u}(t)\big] (s) = \frac{\omega}{s^2 +\omega^2}
\]
quindi per linearità:
\[
\mathcal{L}\left[ \frac{1}{\omega}\ \sin (\omega t)\ \operatorname{u}(t)\right] (s) = \frac{1}{s^2 +\omega^2}\; ;
\]
cosa succede se nell'ultima formula "infili" \(\omega=2\)?
***
No, aspetta... Mi sono perso un esponente al denominatore!
La cosa è un po' più complicata e ci devo pensare (non calcolo trasformate da un po'). Scusa.
Il problema è antitrasformare una funzione del genere:
\[
\frac{1}{(s^2+\omega^2)^2}
\]
con \(\omega >0\).
Un'idea potrebbe essere la seguente.
Dato che:
\[
s^2+\omega^2 = (s-\omega\ \jmath)\ (s+\omega\ \jmath)
\]
si ha:
\[
\frac{1}{(s^2+\omega^2)^2} = \frac{1}{(s-\omega\ \jmath)^2 (s+\omega\ \jmath)^2}
\]
quindi puoi scomporre in fratti semplici:
\[
\frac{1}{(s^2+\omega^2)^2} = \frac{A}{s-\omega\ \jmath} + \frac{B}{(s-\omega\ \jmath)^2} + \frac{C}{s+\omega\ \jmath} + \frac{D}{(s+\omega\ \jmath)^2}\; ;
\]
dopodiché, determinate le costanti (ad esempio, usando i residui), puoi scrivere:
\[
\frac{1}{(s^2+\omega^2)^2} = \frac{A}{s-\omega\ \jmath} + \frac{C}{s+\omega\ \jmath} - \frac{\text{d}}{\text{d} s}\left[\frac{B}{s-\omega\ \jmath}\right] - \frac{\text{d}}{\text{d} s}\left[\frac{D}{s+\omega\ \jmath}\right]
\]
ed usare le proprietà della trasformata di Laplace e le trasformate notevoli per antitrasformare.
Tuttavia, dovrebbe esserci una versione semplificata di questi conti... Se non ricordo male, si riesce a scrivere una cosa del genere:
\[
\frac{1}{(s^2+\omega^2)^2} = \frac{as+b}{s^2+\omega^2} + \frac{\text{d}}{\text{d} s}\left[ \frac{cs+d}{s^2+\omega^2}\right]
\]
(con le costanti \(a,b,c,d\) legate a qualche residuo) e si antitrasforma usando le antitrasformate notevoli e le proprietà della trasformata.
Probabilmente chi ha queste cose più fresche di me ti saprà dire meglio.
Infatti, ricorda che:
\[
\mathcal{L}\big[\sin (\omega t)\ \operatorname{u}(t)\big] (s) = \frac{\omega}{s^2 +\omega^2}
\]
quindi per linearità:
\[
\mathcal{L}\left[ \frac{1}{\omega}\ \sin (\omega t)\ \operatorname{u}(t)\right] (s) = \frac{1}{s^2 +\omega^2}\; ;
\]
cosa succede se nell'ultima formula "infili" \(\omega=2\)?
***
No, aspetta... Mi sono perso un esponente al denominatore!
La cosa è un po' più complicata e ci devo pensare (non calcolo trasformate da un po'). Scusa.
Il problema è antitrasformare una funzione del genere:
\[
\frac{1}{(s^2+\omega^2)^2}
\]
con \(\omega >0\).
Un'idea potrebbe essere la seguente.
Dato che:
\[
s^2+\omega^2 = (s-\omega\ \jmath)\ (s+\omega\ \jmath)
\]
si ha:
\[
\frac{1}{(s^2+\omega^2)^2} = \frac{1}{(s-\omega\ \jmath)^2 (s+\omega\ \jmath)^2}
\]
quindi puoi scomporre in fratti semplici:
\[
\frac{1}{(s^2+\omega^2)^2} = \frac{A}{s-\omega\ \jmath} + \frac{B}{(s-\omega\ \jmath)^2} + \frac{C}{s+\omega\ \jmath} + \frac{D}{(s+\omega\ \jmath)^2}\; ;
\]
dopodiché, determinate le costanti (ad esempio, usando i residui), puoi scrivere:
\[
\frac{1}{(s^2+\omega^2)^2} = \frac{A}{s-\omega\ \jmath} + \frac{C}{s+\omega\ \jmath} - \frac{\text{d}}{\text{d} s}\left[\frac{B}{s-\omega\ \jmath}\right] - \frac{\text{d}}{\text{d} s}\left[\frac{D}{s+\omega\ \jmath}\right]
\]
ed usare le proprietà della trasformata di Laplace e le trasformate notevoli per antitrasformare.
Tuttavia, dovrebbe esserci una versione semplificata di questi conti... Se non ricordo male, si riesce a scrivere una cosa del genere:
\[
\frac{1}{(s^2+\omega^2)^2} = \frac{as+b}{s^2+\omega^2} + \frac{\text{d}}{\text{d} s}\left[ \frac{cs+d}{s^2+\omega^2}\right]
\]
(con le costanti \(a,b,c,d\) legate a qualche residuo) e si antitrasforma usando le antitrasformate notevoli e le proprietà della trasformata.
Probabilmente chi ha queste cose più fresche di me ti saprà dire meglio.
Purtroppo mi sto scervellando anche io , il mio prof non mi ha messo uno straccio di teoria e pure è un esercizio da esame . Nonostante non sappia il procedimento il risultato è (1/16)*(-2tcos(2t) + sin(2t)) . Comunque geazie lo stesso
Puoi usare il Teorema di convoluzione: se $\mathcal{L}[f(t)]=F(s),\ \mathcal{L}[g(t)]=G(s)$ allora, detta $h(t)=(f\star g)(t)=\int_0^t f(\tau) g(t-\tau)\ d\tau$ la convoluzione, allora $\mathcal{L}[h(t)]=F(s)\cdot G(s)$. Pertanto possiamo scrivere
$$h(t)=\mathcal{L}^{-1}[F(s)\cdot G(s)]=(f\ast g)(t)=\int_0^t f(\tau)\ g(t-\tau)\ d\tau$$
Nel tuo caso, scegliendo $F(s)=G(s)=1/{s^2+4}$ per cui $f(t)=g(t)=\frac{1}{2}\ \sin(2t)$, si ha
$$h(t)=\int_0^t \frac{1}{2}\sin(2\tau)\cdot\frac{1}{2}\sin(2t-2\tau)\ d\tau=\frac{1}{4}\int_0^t \sin(2\tau)\sin(2t-2\tau)\ d\tau$$
A te i calcoli.
P.S.: se hai bisogno di un po' di teoria (proprio spicciola, eh? Diciamo che ci sono le basi del perché le trasformate funzioni, le regole dirette per le trasformate e le antitrasformate e un po' di applicazioni alle ODE) ho un file scritto da me di una 15 di pagine che si fa leggere senza problemi.
$$h(t)=\mathcal{L}^{-1}[F(s)\cdot G(s)]=(f\ast g)(t)=\int_0^t f(\tau)\ g(t-\tau)\ d\tau$$
Nel tuo caso, scegliendo $F(s)=G(s)=1/{s^2+4}$ per cui $f(t)=g(t)=\frac{1}{2}\ \sin(2t)$, si ha
$$h(t)=\int_0^t \frac{1}{2}\sin(2\tau)\cdot\frac{1}{2}\sin(2t-2\tau)\ d\tau=\frac{1}{4}\int_0^t \sin(2\tau)\sin(2t-2\tau)\ d\tau$$
A te i calcoli.
P.S.: se hai bisogno di un po' di teoria (proprio spicciola, eh? Diciamo che ci sono le basi del perché le trasformate funzioni, le regole dirette per le trasformate e le antitrasformate e un po' di applicazioni alle ODE) ho un file scritto da me di una 15 di pagine che si fa leggere senza problemi.
Grazie mille 
se riesci a darmi un pò di teoria sarebbe una buona cosa perche non ho praticamente niente
se riesci a darmi un pò di teoria sarebbe una buona cosa perche non ho praticamente niente
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