Antitrasformata di Laplace

[enzialdiff]

L'esercizio è il seguente:
$X(s) = (e^(-s)-se^(2s))/(s^3-1)^2$

Allora l'ho scritto come $X(s)=e^(-s)F(s)-se^(2s)F(s)$ dove $F(s)=1/(s^3-1)^2$

Scomponendo F(s) ottengo:

$F(s)= 1/9 1/(s-1)^2-2/9 1/(s-1)-2/9 (s+1/2)/((s+1/2)^2+3/4)+(2sqrt(3)/9) (sqrt(3)/2)/((s+1/2)^2+3/4)+$
$+1/9 ((s+1/2)^2+3/4)/((s+1/2)^2+3/4)^2-sqrt(3)/9 (s+1/2)/((s+1/2)^2+3/4)^2$

I primi 4 addendi li ho antitrasformati, ho un po di problemi con gli ultimi due ...

[D4lF4zZI0]

Premetto che non ho controllato i passaggi precedenti, mi limito ad antitrasformare i due addendi finali su cui ti sei bloccato
Per quanto riguarda il terzo addendo, si ha:

$ 1/9((s+1/2)^2+3/4)/[(s+1/2)^2+3/4]^2=1/9 1/((s+1/2)^2+3/4)=1/9 sqrt(4/3) sqrt(3/4)/((s+1/2)^2+3/4) $

la cui antitrasformata vale:

$ 1/9 sqrt(4/3) e^(-1/2t)sen( sqrt(3/4)t) $

Per quanto riguarda il quarto addendo, si ha:
$ -sqrt(3)/9(s+1/2)/[(s+1/2)^2+3/4]^2=-sqrt(3)/9(s+1/2)/((s+1/2)^2+3/4) 1/((s+1/2)^2+3/4)= $
$ =-sqrt(3)/9(s+1/2)/((s+1/2)^2+3/4) sqrt(4/3)sqrt(3/4)/((s+1/2)^2+3/4) $
antitrasformando singolarmente i due fattori ed applicando il teorema della convoluzione, si ha che l'antitrasformata vale:
$ =-sqrt(3)/9 sqrt(4/3)int_(-oo)^(+oo) e^(-1/2tau )cos(sqrt(3/4)tau )e^(-1/2(t-tau))sen(sqrt(3/4)(t-tau)) d tau $

[enzialdiff]

Allora chiedo scusa ma ci sono degli errori, le antitrasformate prima della derivata sono ok.
Il problema nasce dalle antitrasformate di quella derivata che non riesco ad ottenere e che devono essere:
$sqrt(3)/9 e^(-t/2)t sen((sqrt(3)t)/2)-1/9 e^(-t/2)tcos((sqrt(3)t)/2)$

$F(s)= 1/9 1/(s-1)^2-2/9 1/(s-1)-2/9 (s+1/2)/((s+1/2)^2+3/4)+(2sqrt(3)/9) (sqrt(3)/2)/((s+1/2)^2+3/4)+$
$-d/(ds) (-1/9 (s+1/2)/((s+1/2)^2+3/4)+sqrt(3)/9 (sqrt(3)/2)/((s+1/2)^2+3/4))$

Non riesco a sistemare quella derivata anche se non mi sembra molto difficile..

I valori sono questa volta verificati con wolfram http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... 3-1%29%5E2

[D4lF4zZI0]

La derivata non è un problema; infatti esiste questo teorema:
$ L[t^nf(t)]=(-1)^n(d^n f(s))/(d s^n) $

[enzialdiff]

Grazie mille D4lF4zZI0, mi ero messo li a fare calcoli inutili...grazie a quella proprietà l'antitrasformata è immediata.

[enzialdiff]

Nel caso in cui l'esercizio preveda un prodotto per $s$ o per $s^2$ ad esempio:
$X(s)=(1-s^2e^(2s))/((s-2)^2(s^2+js+2))$

Una volta trasformata $F(s)=1/((s-2)^2(s^2+js+2))$ ottenendo:
$L^(-1)[F(s)]=y(t)=[(-19/200+i/25)te^(2t)+(3/20-i/20)e^(2t)+1/24e^(-2t)+(4/75+i/75)e^(it)]u(t)$

E' corretto concludere che :

$L^(-1)[X(s)]=x(t)=y(t)-y''(t+2)$

[enzialdiff]

Nessuno?

[D4lF4zZI0]

Non ti ho risposto perchè ho anche io un dubbio che è questo: il teorema di derivazione afferma che:
$ L[ddot(f(t)]]=s^2F(s)-s f(0)-dot(f)(0) $
ora come fai, supponi che le condizioni iniziali siano nulle...ed è qui che mi viene il dubbio

[enzialdiff]

Tra le proprietà dell'antitrasformata di laplace c'è questa :

Prodotto per s:

se
$L^(−1)[f(s)] = F(t)$, e $F(0) = 0$, allora

$L^(−1)[sf(s)] = F'(t)$

Se $F(0) != 0$ allora

$L^(−1)[sf(s)−F(0)] = F'(t)$

oppure

$L^(−1)[s*f(s)] = F'(t)+F(0)δ(t)$

Sinceramente non saprei come eventualmente estendere il concetto a $L^(−1)[s^(2)*f(s)]$ e se e' possibile farlo..

[D4lF4zZI0]

Il problema è proprio la condizione iniziale come ti avevo già detto

[enzialdiff]

Perchè e' un problema? andiamo a valutare il segnale in $0$ e vediamo se e' nullo oppure no. Se è diverso da zero otteniamo anche qualche delta.

Speriamo che qualcuno ci venga in soccorso

[D4lF4zZI0]

Inizia a calcolare $y(0)$ e vediamo che ne vien fuori

[enzialdiff]

$L^(-1)[F(s)]=y(t)=[(-19/200+i/25)te^(2t)+(3/20-i/20)e^(2t)+1/24e^(-2t)+(4/75+i/75)e^(it)]u(t)$


$y(0)=3/20-i/20+1/24+4/75+i/75=49/200-11*i/300$

Quello che mi chiedo è:
Essendo quindi $f(0)!=0$
$L^(-1)[sF(s)]=d/dt(y(t)*u(t))=y'(t)u(t)+f(0)delta(t)$
allora
$L^(-1)[s^2F(s)]=d^2/dt^2(y(t)*u(t))=d/dt(y'(t)u(t)+f(0)delta(t))=f''(t)u(t)+2f'(0)delta(t)+f(0)delta'(t)$

Quindi è corretto scrivere
$L^(-1)[X(s)]=x(t)=y(t)-y''(t+2)$ aggiungendo $2f'(0)delta(t)+f(0)delta'(t)$