Antitrasformata di Fourier che non viene
Considero $1/(2pi) int_(-oo)^(+oo) (e^(iomegat))/(R+iomegaL)domega$.
Per il lemma di Jordan poichè $lim_(R->+oo) max(|f(z)|)=0$ (f(z) sarebbe l'argomento dell'integrale escluso l'esponenziale immaginario) lo calcolo col residuo in $iR/L$. Mi viene $e^(-R/Lt)/L$, che non ha senso, perchè non ammette nemmeno trasformata a sua volta questa, dal momento che diverge a -infinito...
La fisica mi dice che il risultato corretto dovrebbe essere quell'espressione ricavata sopra, ma solo per le t>0, mentre per quelle minori 0.
Chi mi sa dire dov'è che sbaglio il conto?
Per il lemma di Jordan poichè $lim_(R->+oo) max(|f(z)|)=0$ (f(z) sarebbe l'argomento dell'integrale escluso l'esponenziale immaginario) lo calcolo col residuo in $iR/L$. Mi viene $e^(-R/Lt)/L$, che non ha senso, perchè non ammette nemmeno trasformata a sua volta questa, dal momento che diverge a -infinito...
La fisica mi dice che il risultato corretto dovrebbe essere quell'espressione ricavata sopra, ma solo per le t>0, mentre per quelle minori 0.
Chi mi sa dire dov'è che sbaglio il conto?
Risposte
Scusa antani, ma quale definizione di trasformata adotti?
Ce ne sono almeno tre sul mercato...
Ce ne sono almeno tre sul mercato...
sì scusa:
allora quella che vedi è un antitrasformata, cioè sto calcolando $1/(2pi)int....$
La trasformata quindi è $int...$..
Che poi il problema non sono i fattori o l'utilizzare la variabile frequenza invece che pulsazione, ma il fatto che l'antitrasformata non mi dica che la soluzione trovata è solo per le t>0 perchè per le t<0 dovrebbe esser nulla...Non so se mi son spiegato bene
allora quella che vedi è un antitrasformata, cioè sto calcolando $1/(2pi)int....$
La trasformata quindi è $int...$..
Che poi il problema non sono i fattori o l'utilizzare la variabile frequenza invece che pulsazione, ma il fatto che l'antitrasformata non mi dica che la soluzione trovata è solo per le t>0 perchè per le t<0 dovrebbe esser nulla...Non so se mi son spiegato bene
Quindi per te:
[tex]$\mathcal{F}[x(t)](\omega) :=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\ e^{-\jmath t\omega}\ \text{d} t$[/tex] ed [tex]$\mathcal{F}^{-1}[X(\omega)](t) :=\frac{1}{2\pi}\ \int_{-\infty}^{+\infty} X(\omega)\ e^{\jmath t \omega}\ \text{d} \omega$[/tex],
giusto?
Non è per puntiglio, ma è che i calcoli vengono fuori diversi se non si usa la stessa convenzione.
[tex]$\mathcal{F}[x(t)](\omega) :=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\ e^{-\jmath t\omega}\ \text{d} t$[/tex] ed [tex]$\mathcal{F}^{-1}[X(\omega)](t) :=\frac{1}{2\pi}\ \int_{-\infty}^{+\infty} X(\omega)\ e^{\jmath t \omega}\ \text{d} \omega$[/tex],
giusto?
Non è per puntiglio, ma è che i calcoli vengono fuori diversi se non si usa la stessa convenzione.
sì sì esatto in questo caso ho usato quella!
Ok.
Allora, sai che:
[tex]$\mathcal{F}[e^{-at}\ \text{u}(t)](\omega) =\frac{1}{a+\jmath\ \omega}$[/tex]
ove [tex]$\text{u} (t)$[/tex] è la funzione gradino unitario, i.e.:
[tex]$\text{u} (t) =\begin{cases} 0 &\text{, se $x<0$} \\ 1 &\text{, se $x\geq 0$}\end{cases}$[/tex];
inoltre ricordi la linearità.
Se applichi questa proprietà e la trasformata notevole hai finito: infatti (a meno di errori di calcolo) dovresti trovare:
[tex]$\frac{1}{R+\jmath\ L\omega} = \frac{1}{L}\ \frac{1}{\frac{R}{L} +\jmath\ \omega}$[/tex],
ma:
[tex]$\frac{1}{\frac{R}{L} +\jmath \omega} =\mathcal{F}[e^{-\frac{R}{L}\ t}\ \text{u} (t)](\omega)$[/tex],
quindi:
[tex]$\frac{1}{R+\jmath\ L\omega} = \frac{1}{L}\ \mathcal{F}[e^{-\frac{R}{L}\ t}\ \text{u} (t)](\omega)$[/tex]
[tex]$=\mathcal{F}[\tfrac{1}{L}\ e^{-\frac{R}{L}\ t}\ \text{u} (t)](\omega)$[/tex]
ed infine [tex]$\mathcal{F}^{-1} [\tfrac{1}{R+\jmath\ L\omega}](t) =\tfrac{1}{L}\ e^{-\frac{R}{L}\ t}\ \text{u} (t)$[/tex], come volevi.
Scusa se ho perso tempo a rispondere, ma non mi raccapezzavo col segno... Avevo letto male la traccia.
Allora, sai che:
[tex]$\mathcal{F}[e^{-at}\ \text{u}(t)](\omega) =\frac{1}{a+\jmath\ \omega}$[/tex]
ove [tex]$\text{u} (t)$[/tex] è la funzione gradino unitario, i.e.:
[tex]$\text{u} (t) =\begin{cases} 0 &\text{, se $x<0$} \\ 1 &\text{, se $x\geq 0$}\end{cases}$[/tex];
inoltre ricordi la linearità.
Se applichi questa proprietà e la trasformata notevole hai finito: infatti (a meno di errori di calcolo) dovresti trovare:
[tex]$\frac{1}{R+\jmath\ L\omega} = \frac{1}{L}\ \frac{1}{\frac{R}{L} +\jmath\ \omega}$[/tex],
ma:
[tex]$\frac{1}{\frac{R}{L} +\jmath \omega} =\mathcal{F}[e^{-\frac{R}{L}\ t}\ \text{u} (t)](\omega)$[/tex],
quindi:
[tex]$\frac{1}{R+\jmath\ L\omega} = \frac{1}{L}\ \mathcal{F}[e^{-\frac{R}{L}\ t}\ \text{u} (t)](\omega)$[/tex]
[tex]$=\mathcal{F}[\tfrac{1}{L}\ e^{-\frac{R}{L}\ t}\ \text{u} (t)](\omega)$[/tex]
ed infine [tex]$\mathcal{F}^{-1} [\tfrac{1}{R+\jmath\ L\omega}](t) =\tfrac{1}{L}\ e^{-\frac{R}{L}\ t}\ \text{u} (t)$[/tex], come volevi.
Scusa se ho perso tempo a rispondere, ma non mi raccapezzavo col segno... Avevo letto male la traccia.
Ecco io quella proprietà non la sapevo!
Come mai facendo il conto coi residui normale mi son sciolto la funzione a gradino?
Come mai facendo il conto coi residui normale mi son sciolto la funzione a gradino?
Al momento non so... Probabilmente non hai applicato bene la formula d'inversione.
Ma non ti so dare certezze, visto che cerco sempre di riportarmi alle trasformate notevoli per evitare accuratamente il calcolo dei residui.
Ad ogni modo, che valga quella trasformata notevole si dimostra facendo un paio di conticini (per nulla complicati) a mano.
Ma non ti so dare certezze, visto che cerco sempre di riportarmi alle trasformate notevoli per evitare accuratamente il calcolo dei residui.
Ad ogni modo, che valga quella trasformata notevole si dimostra facendo un paio di conticini (per nulla complicati) a mano.
uhm dove li posso trovare? Ora sinceramente non ho voglia di pensarci :-p
Piuttosto non capisco proprio dove ho sbagliato a fare il conto... uff ... vabeh...se ti viene in mente qualcosa fammi sapere! Io domani mattina magari ci penserò (mentre farò finta di ascoltare la lezione di struttura II
) ...
Piuttosto non capisco proprio dove ho sbagliato a fare il conto... uff ... vabeh...se ti viene in mente qualcosa fammi sapere! Io domani mattina magari ci penserò (mentre farò finta di ascoltare la lezione di struttura II
) ...
Beh, la funzione è trasformabile per ogni [tex]$a>0$[/tex]* (poichè è in [tex]$L^1$[/tex]) e risulta:
[tex]$\mathcal{F}[e^{-at}\ \text{u}(t)](\omega) =\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-at}\ \text{u}(t)\ e^{-\jmath \omega t}\ \text{d} t$[/tex]
[tex]$\int_0^{+\infty} e^{-(a+\jmath\ \omega) t}\ \text{d} t $[/tex]
[tex]$=- \frac{1}{a+\jmath \omega}\ \left[ e^{-(a+\jmath\ \omega) t} \right]_0^{+\infty} $[/tex]
[tex]$=\frac{1}{a+\jmath \omega} -\lim_{t\to +\infty} e^{-(a+\jmath \omega) t}$[/tex];
ma [tex]$|e^{-(a+\jmath \omega) t}| = e^{-at}$[/tex], quindi il limite che figura all'ultimo membro della precedente è nullo e perciò:
[tex]$\mathcal{F}[e^{-at}\ \text{u}(t)](\omega) =\frac{1}{a+\jmath \omega}$[/tex].
________
* In realtà [tex]$a$[/tex] si può anche prendere complesso; in tal caso la funzione è trasformabile in senso classico per [tex]$\Re e(a)>0$[/tex] (perchè in tal caso la funzione [tex]$e^{-at}\ \text{u} (t)$[/tex] è in [tex]$L^1$[/tex]).
[tex]$\mathcal{F}[e^{-at}\ \text{u}(t)](\omega) =\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-at}\ \text{u}(t)\ e^{-\jmath \omega t}\ \text{d} t$[/tex]
[tex]$\int_0^{+\infty} e^{-(a+\jmath\ \omega) t}\ \text{d} t $[/tex]
[tex]$=- \frac{1}{a+\jmath \omega}\ \left[ e^{-(a+\jmath\ \omega) t} \right]_0^{+\infty} $[/tex]
[tex]$=\frac{1}{a+\jmath \omega} -\lim_{t\to +\infty} e^{-(a+\jmath \omega) t}$[/tex];
ma [tex]$|e^{-(a+\jmath \omega) t}| = e^{-at}$[/tex], quindi il limite che figura all'ultimo membro della precedente è nullo e perciò:
[tex]$\mathcal{F}[e^{-at}\ \text{u}(t)](\omega) =\frac{1}{a+\jmath \omega}$[/tex].
________
* In realtà [tex]$a$[/tex] si può anche prendere complesso; in tal caso la funzione è trasformabile in senso classico per [tex]$\Re e(a)>0$[/tex] (perchè in tal caso la funzione [tex]$e^{-at}\ \text{u} (t)$[/tex] è in [tex]$L^1$[/tex]).
Ciao gUgo mi è venuto in mente cosa sbagliavo coi residui!
Il punto è che in quell'integrle bisogna fare attenzione al caso di quando t è positivo o negativo: nel primo caso difatti il cammino lungo la semicirconferenza all'infinito va chiuso nel semipiano Im(z)>0 e questo fa s che l'esponenziale immaginario diventi reale negativo e amazzi tutto allo 0; ma se invece t è negativo, nel semipiano superiore all'esponente ti ritroveresti un numero positivo moltiplicato per $|omega|$ che quindi farebbe divergere l'esponenziale! Quindi il cammino va chiuso in questo secondo caso nel semipiano inferiore, dove però non ci sono residui e quindi l'integrale fa 0!
Il punto è che in quell'integrle bisogna fare attenzione al caso di quando t è positivo o negativo: nel primo caso difatti il cammino lungo la semicirconferenza all'infinito va chiuso nel semipiano Im(z)>0 e questo fa s che l'esponenziale immaginario diventi reale negativo e amazzi tutto allo 0; ma se invece t è negativo, nel semipiano superiore all'esponente ti ritroveresti un numero positivo moltiplicato per $|omega|$ che quindi farebbe divergere l'esponenziale! Quindi il cammino va chiuso in questo secondo caso nel semipiano inferiore, dove però non ci sono residui e quindi l'integrale fa 0!
E hai pienamente ragione!
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