Antitrasformata di Fourier, calcolo dell'integrale

[eliotsbowe]

Salve, sono alle prese con la trasformata di Fourier e mi è sorto il seguente dubbio:

voglio antitrasformare una funzione del tipo $e^{-j\omega a}$ calcolando "esplicitamente" l'integrale:

$\frac{1}{2 \pi }\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{-j\omega a} e^{j\omega t} d \omega$

cioè senza ricorrere alla semplificazione $e^{-j\omega a} = F[ \delta (t-a)]$ ;

esiste un modo per calcolare l'integrale in questione?

Io ho provato ad esplicitare l'esponenziale in termini di seno e coseno:

$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{j\omega (t-a)} d\omega = \int_{-\infty}^{+\infty}cos(\omega (t-a))d\omega + j \int_{-\infty}^{+\infty}sin(\omega (t-a))d\omega = 2\int_{0}^{+\infty} cos(\omega(t-a))d\omega $

ma non sono sicuro di aver fatto un passaggio utile alla risoluzione del problema.

Grazie anticipatamente.

[dissonance]

Non puoi procedere così. La trasformata (e l'antitrasformata) di Fourier sono degli integrali solo quando la funzione trasformanda è sommabile, altrimenti si deve ricorrere alla teoria delle distribuzioni. Per esempio, hai scritto

[tex]\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-j\omega a+j \omega t}\, d\omega[/tex]

ma sei proprio sicuro che quell'integrale abbia senso, senza qualche avvertenza ulteriore? Vedi https://www.matematicamente.it/forum/cri ... 56882.html

[eliotsbowe]

Ho capito, grazie.
In effetti, anche se non vale dirlo col senno del poi, intuivo che si trattasse di un integrale non convergente, ma la tua spiegazione ha aggiunto al puzzle il tassello mancante: mi riferisco al concetto di funzione trasformabile solo mediante la teoria delle distribuzioni.