Annullamento derivata prima curva

[Sk_Anonymous]

Sto studiando le curve parametriche e mi sto confondendo sul significato geometrico dell'annullamento della derivata prima. Se considero il sostegno di una curva parametrizzata, dire che la derivata si annulla per un certo valore del parametro che significa graficamente sul sostegno? Grazie mille

[Luca.Lussardi]

Non significa niente sul sostegno; l'annullamento della derivata della parametrizzazione significa solo che arrivi ad un punto in cui percorri la curva a velocità nulla, cosa che per motivi di regolarità è vietata.

[Sk_Anonymous]

Il libro dice che il sostegno della curva presenta delle cuspidi.
Per esempio, l'astroide è una curva regolare a tratti e la derivata prima si annulla in dei punti che sul sostegno corrispondono a cuspidi. Altra cosa. Sebbene il libro abbia precisato che con il termine "curva" si intende la funzione vera e propria, noto che molto spesso tale termine è usato anche come sinonimo del sostegno. E' normale? Grazie.

[Luca.Lussardi]

No, non è equivalente: la parabola di equazione cartesiana $y=x^2$ ha un sostegno regolarissimo in $\RR^2$, ma la parametrizzazione $\gamma(t)=(t^3,t^6)$ non è regolare attorno a $t=0$.

[Sk_Anonymous]

"Luca.Lussardi":No, non è equivalente: la parabola di equazione cartesiana $y=x^2$ ha un sostegno regolarissimo in $\RR^2$, ma la parametrizzazione $\gamma(t)=(t^3,t^6)$ non è regolare attorno a $t=0$.

Quindi mi stai dicendo che il fatto che la derivata prima della curva si annulli per un certo valore del parametro non significa che il sostegno deve avere necessariamente una cuspide? (es. Io mi muovo lungo una strada con curve e certe volte mi fermo e poi subito dopo riparto). E se sappiamo che il sostegno della curva ha una cuspide in un certo punto possiamo concludere senza dubbio che la derivata prima della funzione si annulla per qualche valore? Grazie.

[dissonance]

"lisdap":Il libro dice che il sostegno della curva presenta delle cuspidi.
Per esempio, l'astroide è una curva regolare a tratti e la derivata prima si annulla in dei punti che sul sostegno corrispondono a cuspidi.

Ma non è che se la derivata di annulla allora c'è una cuspide. Se c'è una cuspide allora sicuramente nella parametrizzazione ci deve essere qualche problema: un punto di non derivabilità, oppure un punto in cui la derivata si annulla. Ma può capitare che la derivata si annulli in punti apparentemente liscissimi, come mostra Luca.

[Sk_Anonymous]

Ok, hai confermato quello che ho scritto nel mio ultimo post. Grazie.