Angoli con numeri decimali in forma normale

[bigodini]

Buongiorno a tutti, vorrei chiedere un qualcosa di abbastanza banale che tuttavia non riesco a comprendere a fondo e vorrei colmare questa lacuna. Si tratta del procedimento per esprimere angoli in forma normale se dati con numeri decimali.

Mi è capitato di cercare e trovare un esempio che propongo:

$120.523°$ perportarlo in forma normale svolgiamo:

$0.253°*60=31.38'$ dunque prendo la parte decimale

$0.38*60=22.8''$

Da cui=> $120° 31' 22.8''$

Il procedimento è simile a quanto ricordo si svolge per passare da decimale a base binaria:

es: dato $20.70$ (base dieci).

$0.70*2=1.4$ tengo l'1 e moltiplico ancora 0.4*2

$0.4*2=0.8$ ho zero e moltiplico 0.8*2

$0.8*2=1.6$

quindi => $10100.101$ in binario se non erro


Il punto però è che è un po' diverso nel caso degli angoli, infatti noi abbiamo il sistema posizionale gradi-primi-secondi, che è come nel binario per le posizioni $2^2 2^1 2^0$ e decimali $10^2 10^1 10^0$ nell'esempio($120.523°$) a me sembra che venga fornito il numero nella "posizione 3" da sinistra con la virgola e non l'unità. insomma è come se nel binario fosse fornito che so $(1.1)*2^2+1^1+1^0$ e non vedo il senso di moltiplicare per 2 $0.1$, che parimenti è quello che faccio nel sessagesimale $0.523*60$


Qualcuno avrebbe voglia di aiutarmi a razionalizzare meglio la cosa? Lo ringrazio molto

[vict85]

Sinceramente il tuo ragionamento mi sembra piuttosto confuso. Stai cercando di dare una spiegazione moderna ad un sistema inventato da Sumeri e Babilonesi. Il cerchio era diviso il \(360\) parti perché \(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\). Ovvero perché è ben divisibile per quasi tutti i numeri piccoli. Suppongo che per primi e secondi si preferisse un numero di parti inferiore per poterle gestire con maggiore facilità.

Detto questo, non pensavo che i gradi sessagesimali venissero visti nei corsi di analisi matematica: pensavo si usassero solo i radianti.

[bigodini]

"vict85":Sinceramente il tuo ragionamento mi sembra piuttosto confuso. Stai cercando di dare una spiegazione moderna ad un sistema inventato da Sumeri e Babilonesi. Il cerchio era diviso il \(360\) parti perché \(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\). Ovvero perché è ben divisibile per quasi tutti i numeri piccoli. Suppongo che per primi e secondi si preferisse un numero di parti inferiore per poterle gestire con maggiore facilità.

Detto questo, non pensavo che i gradi sessagesimali venissero visti nei corsi di analisi matematica: pensavo si usassero solo i radianti.

Ti ringrazio per la risposta. Ammetto che non sapevo dove mettere la domanda e l'ho messa in qualcosa di "base", non è propriamente analisi ma è un mio dubbio e avrei voluto parlarne con qualcuno tramite il forum. Questo per scusarmi se la sezione non è la più idonea e chiedo venia per l'errore.

Il punto dubbio è che gli angoli hanno diverse forme nel modo di scriverli e quella detta "Normale" è quella con primi secondi ecc.
Spesso però si possono avere angoli con la virgola (cioè espressi in altra forma rispetto la normale) ed è necessario (forse non necessario, però vorrei farlo XD) portarlo in forma normale. Ho girato nel web ma tutti ripropongono l'algoritmo

Mi è capitato di cercare e trovare un esempio che propongo:

$120.523°$ per portarlo in forma normale svolgiamo:

$0.253°*60=31.38'$ dunque prendo la parte decimale

$0.38*60=22.8''$

Da cui=> $120° 31' 22.8''$

E quindi volevo capire il senso di moltiplicare per 60 la parte decimale, avevo trovato una similitudine nel trasformareun numero decimale (in base 10) in base binaria dove si reitera la moltilicazione x2 della parte con la virgola. però in qel caso la virgolaè riferita alla posizione $b^0$ (con b base), mentre nel caso suddetto dell'angolo io ho la virgola ne gradi (che se vogliamo è in posizione $b^3$).

[gugo82]

Scusa, ma guarda già cosa succede in base $10$.

Prendiamo un numero decimale con parte intera nulla, che tanto basta... Diciamo $0.523$.
Come facciamo a determinare determinare dei numeri $0<= c_1,c_2,c_3 < 10$ in modo che:

$0.523 = c_1/10 + c_2/100 + c_3/1000$?

(Chiaramente, $c_1=5, c_2=2, c_3=3$ per ovvi motivi aritmetici e, per motivi altrettanto ovvi, sappiamo che la somma al secondo membro è finita... Quindi l'esempio serve solo a vedere se il ragionamento funziona.)
Beh, se moltiplichiamo tutto per 10 otteniamo:

$5.23 = c_1 + c_2/10 + c_3/100$

cosicché $c_1$ coincide con la parte intera di $5.23$, cioè $c_1=5$; dalla precedente si ricava:

$0.23 = c_2/10 + c_3/100$,

cosicché il meccanismo può essere iterato: moltiplicando per $10$ otteniamo:

$2.3 = c_2 + c_3/10$

da cui $c_2=2$ ed:

$0.3 = c_3/10$;

moltiplicando ancora per $10$ ricaviamo infine $c_3=3$.

In maniera analoga, il discorso funziona per qualsiasi altra base di numerazione tu voglia inserire (espressa in base $10$) al denominatore, solo che "a priori" non puoi evitare il presentarsi di una serie al secondo membro...
Ad esempio, con potenze di $60$, come fare se vogliamo trovare dei numeri (potenzialmente infiniti, non si sa) $0<= c_1, c_2, c_3, ... , c_n, ... < 60$ tali che:

$0.523 = c_1/60 + c_2/3600 + c_3/216000 + ... + c_n/(60^n) + ... = sum_(n=1)^oo c_n/(60^n)$?

Sempre allo stesso modo: moltiplicando i membri esterni per $60$ otteniamo:

$31.38 = c_1 + sum_(n=2)^oo c_n/(60^(n-1)) = c_1 + sum_(n=1)^oo (c_(n+1))/(60^n)$

da cui $c_1=31$ e:

$0.38 = sum_(n=1)^oo (c_(n+1))/(60^n)$;

iterando, abbiamo:

$22.8 = c_2 + sum_(n=2)^oo (c_(n+1))/(60^(n-1)) = c_2 + sum_(n=1)^oo (c_(n+2))/(60^n)$

da cui $c_2=22$ e:

$0.8 = sum_(n=1)^oo (c_(n+2))/(60^n)$;

iterando ancora:

$48 = c_3 + sum_(n=2)^oo (c_(n+2))/(60^(n-1)) = c_3 + sum_(n=1)^oo (c_(n+3))/(60^n)$

da cui $c_3=48$ e:

$0=sum_(n=1)^oo (c_(n+3))/(60^n)$

cosicché $c_n=0$ per ogni $n>=4$.

Ne viene che $0.523 = 31/60 + 22/3600 + 48/216000$ o, come si usa scrivere in questi casi, $0.523 = 31'\ 22''\ 48'''$.[nota]Potresti anche scegliere di scrivere $0.523$ come un allineamento decimale di cifre. Per fare ciò, dovresti trovare un modo per esprimere i numeri $c_1=31$, $c_2=22$ e $c_3=48$ come cifre di un sistema di numerazione in base $60$... Il problema è trovare le cifre!
Usualmente, per i sistemi di numerazione in base $>10$, si usano le cifre usuali ($0, ..., 9$) per rappresentare i numeri da zero a nove, mentre si usano lettere per rappresentare i numeri successivi (ad esempio, $A$ per dieci, $B$ per undici, etc...). Usando le dieci cifre $0,...,9$ e le ventisette lettere dell'alfabeto inglese $A, ..., Z$ si possono rappresentare in tutto trentasette cifre; ma ci mancano ancora tanti simboli per esaurire le cifre di un sistema di numerazione in base $60$!
In particolare, visto che le cifre di un sistema di numerazione in base $60$ sono esattamente sessanta, ci mancano ventitré simboli per denotare le cifre dalla trentottesima alla sessantesima.
L'alfabeto greco ha ventiquattro lettere ed, escludendo la omicron ($o$) che è troppo simile allo $0$ e ad $O$ e può creare ambiguità, ecco i ventitré simboli mancanti!
Allora le cifre si possono riassumere nella seguente tabella:

$[("Cifra base 60", "valore base 10"),(0,0),(1,1),(\vdots , \vdots),(9,9),(A,10),(B,11),(\vdots , \vdots),(Y, 35), (Z, 36),(alpha, 37), (beta, 38), (\vdots , \vdots), (psi, 58), (omega, 59)]$

dunque:

$(0.523)_10 = (0.UOmu)_60$

(se non ho sbagliato le corrispondenze!).[/nota]

[bigodini]

Grazei gugo per la tua esauriente risposta che fila liscia come l'olio in ogni parte.

In particolare non avevo capito questo

"gugo82":
$(0.523)_10 = (0.UOmu)_60$

cioè che ', '' ,''' fosse solo un espediente per non scriverlo come allineamento decimale (quindi piazzandoci la virgola e inventando 60 cifre).


Grazie davvero, sei sempre un maestro nelle risposte

[gugo82]

Prego, figurati.