Andamento all'infinito di $x(t) in ccL^1(RR)$
buongiorno utenti!
la domanda che mi preme oggi è: se una funzione è sommabile su $RR$, risulta sempre verificato che $lim_(x->+-\infty)x(t)=0$??
il mio testo suggerisce di no, e che bisogna aggiungere tra le ipotesi l'assoluta continuità della funzione, ma non riesco a capire perchè.
il ragionamento che mi guida è: se $x(t)$ è sommabile, il rettangoloide sotteso dalla curva $y=|x(t)|$ avrà area finita, di conseguenza dovrebbe essere impossibile ipotizzare una funzione che riesca a "spalmare" quest'area finita in una regione infinita!
Al solito, i miei ragionamenti sono spesso maturati su funzioni continue, o poco irregolari, con le quali sono ancora troppo abituato a ragionare.
vi ringrazio per l'attenzione
la domanda che mi preme oggi è: se una funzione è sommabile su $RR$, risulta sempre verificato che $lim_(x->+-\infty)x(t)=0$??
il mio testo suggerisce di no, e che bisogna aggiungere tra le ipotesi l'assoluta continuità della funzione, ma non riesco a capire perchè.
il ragionamento che mi guida è: se $x(t)$ è sommabile, il rettangoloide sotteso dalla curva $y=|x(t)|$ avrà area finita, di conseguenza dovrebbe essere impossibile ipotizzare una funzione che riesca a "spalmare" quest'area finita in una regione infinita!
Al solito, i miei ragionamenti sono spesso maturati su funzioni continue, o poco irregolari, con le quali sono ancora troppo abituato a ragionare.
vi ringrazio per l'attenzione
Risposte
"Boris":Tieni presente che una "funzione" in $L^1(RR)$ non è neanche una vera funzione del tipo che hai trattato in precedenza (*), perché come certamente sai gli elementi di $L^1(RR)$ sono classi di equivalenza di funzioni, tali che due qualunque rappresentanti della stessa classe sono uguali quasi ovunque.
Al solito, i miei ragionamenti sono spesso maturati su funzioni continue, o poco irregolari, con le quali sono ancora troppo abituato a ragionare.
Esempio classico: la funzione $ \chi_ {QQ} (x) = {(1, x\in QQ), (0, x \notin QQ):}$ e la funzione identicamente nulla sono uguali quasi ovunque, quindi sono la stessa funzione in $L^1(RR)$ (la dicitura corretta sarebbe: sono entrambi rappresentanti dello stesso elemento di $L^1(RR)$). Questo esempio mostra anche che, in generale, non ha senso parlare di limite di una funzione di $L^1(RR)$: le funzioni citate sono rappresentanti dello stesso elemento, ma una non ha comportamento regolare per $x \to \infty$, l'altra si.
Detto questo, quando un elemento di $L^1(RR)$ ha un rappresentante continuo, allora tutti gli altri rappresentanti (che continui non sono: prova a dimostrare questa proposizione se non l'hai già fatto) vengono trascurati e possiamo tranquillamente parlare di limite (**). In questa maniera si stabiliscono dei risultati utili, ti propongo questo che è interessante :
Sia $f \in C^1(RR) nn L^1(RR)$ tale che $f' \in L^(\infty) (RR)$. Allora $lim_{|x|to \infty} f(x) = 0$. Prova a dimostrarlo.
_____________________________________________
(*)Def. : "una funzione è una relazione che ad ogni elemento del dominio associa un unico elemento del codominio" .
(**) Che poi è lo stesso caso di sopra: la funzione identicamente nulla è continua.
@Boris
no, non puoi farla andare a zero.
A parte tutte le considerazioni su q.o., anche se hai una funzione continua ci puoi mettere degli "spikes" (punte di spilli) che addirittura vanno a + infinito! Basta che abbiano base che va a zero abbastanza rapidamente da garantire che la tua funzione sia in L^1.
Comunque, di questo si è già discusso, prova a vedere se trovi un thread.
no, non puoi farla andare a zero.
A parte tutte le considerazioni su q.o., anche se hai una funzione continua ci puoi mettere degli "spikes" (punte di spilli) che addirittura vanno a + infinito! Basta che abbiano base che va a zero abbastanza rapidamente da garantire che la tua funzione sia in L^1.
Comunque, di questo si è già discusso, prova a vedere se trovi un thread.
"Boris":Anche questo punto è interessante. Questa asserzione è falsa, considera ad esempio la funzione $1/(x^2)$ che è sommabile sulla "regione infinita" (come l'hai chiamata tu) $(1, +\infty)$. Questa funzione però è infinitesima all'infinito.
il rettangoloide sotteso dalla curva $y=|x(t)|$ avrà area finita, di conseguenza dovrebbe essere impossibile ipotizzare una funzione che riesca a "spalmare" quest'area finita in una regione infinita!
Ma possiamo costruire esempi di funzioni continue, sommabili, e però non regolari all'infinito. Guarda questa figura:
Costruiamo una funzione $f$ con questo grafico facendo in modo che l'area del primo triangolo sia $1$, l'area del secondo sia $1/4$, ... , l'area dell' $n$-esimo $1/(n^2)$. Allora l'integrale della funzione sarà uguale alla serie $sum_{n=1}^\infty 1/(n^2)$ che come sai è convergente: si tratta quindi di una funzione sommabile, continua, ed evidentemente non ammette limite all' infinito: addirittura esiste una successione $(t_n)$ di numeri reali tale che $f(t_n)\to \infty$, ed un'altra successione $(s_n)$ tale che $f(s_n)=0$ per ogni $n\inNN$.
Innanzitutto vi ringrazio enormemente!
Paradossalmente, poco dopo aver postato il thread, mi si è delineata l'idea di poter considerare funzioni che fossero uguali q.o. ad una funzione sommabile
, che quindi non avrebbero avuto andamento facile all'infinito..
per quanto riguarda gli spikes e la funzione costruita a triangoli.. vera illuminazione!
erano proprio gli esempi che cercavo.
@ dissonance
ti ringrazio per le proposte delle due dimostrazioni, ci lavorerò un pò sulla seconda, anche se lo studio degli spazi $L^n$ mi manca, avendone giusto trovato un accenno riguardante $L^1$ ed $L^2$.. ma forse ad ingegneria queste cose ci è permesso approssimarle un pò
Paradossalmente, poco dopo aver postato il thread, mi si è delineata l'idea di poter considerare funzioni che fossero uguali q.o. ad una funzione sommabile
, che quindi non avrebbero avuto andamento facile all'infinito..per quanto riguarda gli spikes e la funzione costruita a triangoli.. vera illuminazione!
erano proprio gli esempi che cercavo.@ dissonance
ti ringrazio per le proposte delle due dimostrazioni, ci lavorerò un pò sulla seconda, anche se lo studio degli spazi $L^n$ mi manca, avendone giusto trovato un accenno riguardante $L^1$ ed $L^2$.. ma forse ad ingegneria queste cose ci è permesso approssimarle un pò
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