Ancora una serie...
...e poi basta per oggi, promesso 
Mi piacerebbe farvi vedere questa che tra l'ammasso di esercizi che ho svolto nel pomeriggio mi crea dei dubbi.
[edit sulle parentesi]
$\sum_(n>=1) (-1)^n (\root[n]3-1)$
ho pensato bene di svolgerne lo studio con Leibniz. Il fatto che non potrei applicarlo perché ho un dubbio sulla positività di $a_n$, infatti vorrei mostrare che sia positiva così che possa essere certo sia di segni alterni. Ora riesco a mostrare che $\root[n]3-1>0$ intuitivamente con il grafico, ma vorrei farlo in modo più preciso.
Inoltre mi è sorto un dubbio correlato: ma Leibniz vale solo per alterni? Forse sto facendo un lavoro inutile e basta sia variabile, ma resta comunque il punto che debbo dimostrare che ha infiniti termini positivi e infiniti negativi, non so come!
Come potrei fare per questi due punti dubbi nelmodo migliore possibile?
Vi ringrazio-
Mi piacerebbe farvi vedere questa che tra l'ammasso di esercizi che ho svolto nel pomeriggio mi crea dei dubbi.
[edit sulle parentesi]
$\sum_(n>=1) (-1)^n (\root[n]3-1)$
ho pensato bene di svolgerne lo studio con Leibniz. Il fatto che non potrei applicarlo perché ho un dubbio sulla positività di $a_n$, infatti vorrei mostrare che sia positiva così che possa essere certo sia di segni alterni. Ora riesco a mostrare che $\root[n]3-1>0$ intuitivamente con il grafico, ma vorrei farlo in modo più preciso.
Inoltre mi è sorto un dubbio correlato: ma Leibniz vale solo per alterni? Forse sto facendo un lavoro inutile e basta sia variabile, ma resta comunque il punto che debbo dimostrare che ha infiniti termini positivi e infiniti negativi, non so come!
Come potrei fare per questi due punti dubbi nelmodo migliore possibile?
Vi ringrazio-
Risposte
Ciao harperf,
Beh, non è complicato:
$\root[n]{3} - 1 > 0 \implies \root[n]{3} > 1 \implies log_3 3^{1/n} > log_3 1 \implies 1/n > 0 $, il che è vero $\AA n > 0 $
Quindi applicando il criterio di Leibniz si vede che la serie proposta converge.
Beh, non è complicato:
$\root[n]{3} - 1 > 0 \implies \root[n]{3} > 1 \implies log_3 3^{1/n} > log_3 1 \implies 1/n > 0 $, il che è vero $\AA n > 0 $
Quindi applicando il criterio di Leibniz si vede che la serie proposta converge.
Buongiorno pilloeffe,
quando arrivo alla sera dopo 12 ore in camera non vedo anche le cose più fattibili, grazie
Potrei farti solo due ultime domande a corredo?
-1- Leibniz in realtà è applicabile anche a serie non di segni alterni, basta siano di segno variabile, giusto?
-2- dato che L. è applicabile anche a segni variabili, come potri fare a mostrare la variabilità di segno ma senza una periodicità? Per il segno alterno e facile ma se fosse variabile a "casaccio"?
Ancora buon we
quando arrivo alla sera dopo 12 ore in camera non vedo anche le cose più fattibili, grazie
Potrei farti solo due ultime domande a corredo?
-1- Leibniz in realtà è applicabile anche a serie non di segni alterni, basta siano di segno variabile, giusto?
-2- dato che L. è applicabile anche a segni variabili, come potri fare a mostrare la variabilità di segno ma senza una periodicità? Per il segno alterno e facile ma se fosse variabile a "casaccio"?
Ancora buon we
"pilloeffe":
Quindi applicando il criterio di Leibniz si vede che la serie proposta converge.
Ma anche no (a meno che non siano state tolte delle parentesi nel frattempo).
Non è soddisfatta la condizione sufficiente della convergenza, quindi…
"harperf":
-1- Leibniz in realtà è applicabile anche a serie non di segni alterni, basta siano di segno variabile, giusto?
No, solo a quelle di segno alterno.
Grazie otta96, chiarissimo.
Non ho capito però perché dici non essere soddisfatta la condizione necessaria di cauchy alla convergenza, a me pare sia proprio 1-1=0 al limite di n->infinito
Non ho capito però perché dici non essere soddisfatta la condizione necessaria di cauchy alla convergenza, a me pare sia proprio 1-1=0 al limite di n->infinito
Per gli $n$ dispari che succede?
Sì ho capito quel che vuoi dire, che oscilla, giusto?
Però ci sono funzioni oscillanti che hanno limite: cioè si stringe sempre di più attorno a un valore,mi immaginavo quaclosa del genere. In soldoni, intuitivamente, mi pareva questo il criterio di leibniz. Altrimenti non sarebbe mai applicabile.
[edit]
ah no cavolo ho capito ora, scusa. Potrei aver sbagliato con le parentesi.
Confermo!
Però ci sono funzioni oscillanti che hanno limite: cioè si stringe sempre di più attorno a un valore,mi immaginavo quaclosa del genere. In soldoni, intuitivamente, mi pareva questo il criterio di leibniz. Altrimenti non sarebbe mai applicabile.
[edit]
ah no cavolo ho capito ora, scusa. Potrei aver sbagliato con le parentesi.
Confermo!
È applicabile (il criterio di Leibnitz) se la successione $a_n$ che moltiplica il $(-1)^n$ soddisfa certe ipotesi, vale a dire $a_n>=0 AAn\inNN$, $a_(n+1)
Ho editato 
Grazie
Grazie
Ora funziona tutto.
Buongiorno harperf,
Naturalmente, visti i precedenti, avevo capito che ti eri dimenticato le parentesi...
Il criterio di Leibniz è un criterio di convergenza applicabile a serie a termini di segno alterno. Ha delle ipotesi ben precise, che non contemplano il "variabile a casaccio" come scrivi, ma anzi tendono a limitare la variabilità: se tali ipotesi non sono verificate in generale nulla può dirsi sulla convergenza della serie. Il criterio di Leibniz può essere visto come corollario del criterio di Dirichlet per le serie[nota]W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, A. A. Arthur, S. L. Langman, 1976, pagine 70 e 71[/nota], che afferma che se $\{a_n\} $ è una successione di numeri in $\CC $ e $\{b_n\} $ una successione di numeri in $\RR $ tali che:
1) $ b_1 \ge b_2 \ge ... \ge b_n > 0 $;
2) $ \lim_{n \to +\infty} b_n = 0 $;
3) $\AA N \in \NN_{> 0} $ si ha $|\sum_{n = 1}^N a_n | <= M $ ove $M$ è indipendente dalla scelta di $N$
allora la serie $\sum_{n = 1}^{+\infty} a_n b_n $ è convergente in $\CC $.
Il criterio di Leibniz si ottiene nel caso particolare in cui sia $a_n = (-1)^n $
Naturalmente, visti i precedenti, avevo capito che ti eri dimenticato le parentesi...
Il criterio di Leibniz è un criterio di convergenza applicabile a serie a termini di segno alterno. Ha delle ipotesi ben precise, che non contemplano il "variabile a casaccio" come scrivi, ma anzi tendono a limitare la variabilità: se tali ipotesi non sono verificate in generale nulla può dirsi sulla convergenza della serie. Il criterio di Leibniz può essere visto come corollario del criterio di Dirichlet per le serie[nota]W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, A. A. Arthur, S. L. Langman, 1976, pagine 70 e 71[/nota], che afferma che se $\{a_n\} $ è una successione di numeri in $\CC $ e $\{b_n\} $ una successione di numeri in $\RR $ tali che:
1) $ b_1 \ge b_2 \ge ... \ge b_n > 0 $;
2) $ \lim_{n \to +\infty} b_n = 0 $;
3) $\AA N \in \NN_{> 0} $ si ha $|\sum_{n = 1}^N a_n | <= M $ ove $M$ è indipendente dalla scelta di $N$
allora la serie $\sum_{n = 1}^{+\infty} a_n b_n $ è convergente in $\CC $.
Il criterio di Leibniz si ottiene nel caso particolare in cui sia $a_n = (-1)^n $
Grazie, in effeti non mi è ancora stato enunciato tale criterio e non lo conosco, ma ora lo guardo per bene, grazie per avermelo enunciato.
Diciamo che non sono ancora un asso sulle serie (magari fosse solo nelle serie )
Diciamo che non sono ancora un asso sulle serie (magari fosse solo nelle serie
)
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