Ancora una domanda sulle derivate
Cercavo di giustificarmo perché $(dx)/(dt)=v$ e $(dt)/(dx)=1/v$ dimostrandolo con i rapporti incrementali.
Perché la derivata fatta rispesto all'inversa e 1/ mi spieghereste per favore
Perché la derivata fatta rispesto all'inversa e 1/ mi spieghereste per favore
Risposte
Non è possibile che questo teorema non ci sia, sul tuo libro. "Teorema sulla derivata della funzione inversa". E stai attento a queste manipolazioni formali, studia bene la teoria rigorosa, prima.
In realtà ho usato proprio quel teorema ma mi incasino, non ero stato a scrivere tutto sperando di leggere un passo passo, non tanto perché non lo abbia svolto e volessi la pappa pronta, piuttosto perché non capico l'errore.
Vediamo se riesco...
In generale:
$(f^(-1))'(y)=1/(f'(x))=1/(f'(f^(-1)(y))$
esempio classico:
Prendo l'inversa: $x=e^y$ e voglio arrivare a derivarla:
$f^(-1)'=1/(1/x)$ poiché sarebbe la derivata di $f(x)=logx$ ma a sua volta: essendo x=e^y si ha $1/(1/e^y)$
Il dubbio nasce su quest'ultimo punto (si veda dopo): come si vede facilmente esprimo la derivata nei termini di y
Ora applichiamolo al nostro caso:
$S(t)=s$
$S^(-1)(s)=t$
=> $(S^(-1))'(s)=1/(S'(S^(-1)(s))$ cioè dovrei fare: $1/(s'(x))=1/v$ però v è in funzione del tempo (la x nel caso generico), io dovrei esprimerla nei confronti di y per avere la derivazione della funzione inversa (la sostituzione $x=e^y$ che feci in $1/(1/x)$ per giungere a $1/(1/e^y)$)
In questo caso, invece, non mi pare si faccia e rimanga proprio 1/v, perché?
Mi crea dubbi sulla comprensione del fatto.
Vediamo se riesco...
In generale:
$(f^(-1))'(y)=1/(f'(x))=1/(f'(f^(-1)(y))$
esempio classico:
Prendo l'inversa: $x=e^y$ e voglio arrivare a derivarla:
$f^(-1)'=1/(1/x)$ poiché sarebbe la derivata di $f(x)=logx$ ma a sua volta: essendo x=e^y si ha $1/(1/e^y)$
Il dubbio nasce su quest'ultimo punto (si veda dopo): come si vede facilmente esprimo la derivata nei termini di y
Ora applichiamolo al nostro caso:
$S(t)=s$
$S^(-1)(s)=t$
=> $(S^(-1))'(s)=1/(S'(S^(-1)(s))$ cioè dovrei fare: $1/(s'(x))=1/v$ però v è in funzione del tempo (la x nel caso generico), io dovrei esprimerla nei confronti di y per avere la derivazione della funzione inversa (la sostituzione $x=e^y$ che feci in $1/(1/x)$ per giungere a $1/(1/e^y)$)
In questo caso, invece, non mi pare si faccia e rimanga proprio 1/v, perché?
Mi crea dubbi sulla comprensione del fatto.
Non mi risulta che $S(t)=2$ sia una funzione invertibile...
Grazie gugo, ho corretto il typo
Scusa, ma $S(t)=s$ continua ad essere una funzione costante, quindi non invertibile… Cosa hai corretto?
Ciao gugo, io intendevo come y(x)=y , cioè f(x)=y. Non ho capito il tuo suggerimento, mi spiegheresti il mio errore notazionale, te ne prego
Ti stai semplicemente imbrogliando tra due notazioni diverse. Bisogna passare da questo tipo di confusione, purtroppo. Ora sono da cellulare e ho difficoltà a scrivere altro.
Certo, senza fretta 
Attenderò di buon grado la spiegazione
Buon we
Attenderò di buon grado la spiegazione
Buon we
La funzione $f(x)=y$ è la funzione costante che ad ogni $x$ associa il valore $y$.
Se, invece, vuoi scrivere $y=f(x)$ per denotare l’equazione della curva-grafico di $f$, allora la curva-grafico della funzione inversa è $x = f^(-1)(y)$.
Ora, torniamo al caso in esame, cioè a quello della funzione lineare $f(t)=vt $, che ha per derivata la funzione costante $f^\prime (t) = v$. Evidentemente, la funzione inversa si ottiene risolvendo rispetto ad $x$ l’equazione $x = v t$, ottenendo $t=x/v$; dunque $f^(-1)(x) = x/v$.
Per teorema di Derivazione dell’inversa, hai $text(D)[f^(-1)(x)] = 1/(f^\prime (f^(-1)(x))) = 1/v$, che è proprio quello che trovi derivando direttamente $f^(-1)$… Quindi non vedo il problema.
Se, invece, vuoi scrivere $y=f(x)$ per denotare l’equazione della curva-grafico di $f$, allora la curva-grafico della funzione inversa è $x = f^(-1)(y)$.
Ora, torniamo al caso in esame, cioè a quello della funzione lineare $f(t)=vt $, che ha per derivata la funzione costante $f^\prime (t) = v$. Evidentemente, la funzione inversa si ottiene risolvendo rispetto ad $x$ l’equazione $x = v t$, ottenendo $t=x/v$; dunque $f^(-1)(x) = x/v$.
Per teorema di Derivazione dell’inversa, hai $text(D)[f^(-1)(x)] = 1/(f^\prime (f^(-1)(x))) = 1/v$, che è proprio quello che trovi derivando direttamente $f^(-1)$… Quindi non vedo il problema.
@gugo, ciao
Per non far confusione preferisco procedere per passi:
Per risolvere il mio dubbio ho prima cercato sul forum e ho trovato una discussione dove leggevo: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 1&t=194787
C'è questo punto che non mi è molto chiaro (della tua risposta sopra)
Stando alla parte citata della vecchia discussione:
$f^\prime (f^(-1)(x))=f'(x/v)$ denota la funzione composta da $f′(t)=v$ (componente esterna) e da $f^(−1)(x)=x/v$ (componente interna)
Cioè sfruttando la discussione in archivio e svolgendo il calcolo esplicito a denominatore avrei:
$f^\prime (f^(-1)(x))=f'(x/v)$
\[
f^\prime (x/v) = \left. v \right|_{t=x/v} = x/t\; .
\]
sarebbe questo il passaggio corretto "passo-passo", con la rinominazione delle variabili al caso in esame?
E' qui il punto che mi ingarbugliava
Per non far confusione preferisco procedere per passi:
Per risolvere il mio dubbio ho prima cercato sul forum e ho trovato una discussione dove leggevo: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 1&t=194787
Il simbolo $f^\prime (e^y)$ non denota mica la derivata di $e^y$!
Quella si denoterebbe semplicemente con $(e^y)^\prime$ (oppure con $D[e^y]$ o $("d")/("d"y) e^y$, oppure con qualsiasi altra notazione che conosci...)
Il simbolo $f^\prime (e^y)$ denota la funzione composta da $f^\prime (x) =1/x$ (componente esterna) e da $f^(-1)(y)=e^y$ (componente interna), sicché:
\[
f^\prime (e^y) = \left. \frac{1}{x} \right|_{x=e^y} = \frac{1}{e^y}\; .
\]
C'è questo punto che non mi è molto chiaro (della tua risposta sopra)
"gugo82":
Per teorema di Derivazione dell’inversa, hai $text(D)[f^(-1)(x)] = 1/(f^\prime (f^(-1)(x))) = 1/v$, che è proprio quello che trovi derivando direttamente $f^(-1)$… Quindi non vedo il problema.
Stando alla parte citata della vecchia discussione:
$f^\prime (f^(-1)(x))=f'(x/v)$ denota la funzione composta da $f′(t)=v$ (componente esterna) e da $f^(−1)(x)=x/v$ (componente interna)
Cioè sfruttando la discussione in archivio e svolgendo il calcolo esplicito a denominatore avrei:
$f^\prime (f^(-1)(x))=f'(x/v)$
\[
f^\prime (x/v) = \left. v \right|_{t=x/v} = x/t\; .
\]
sarebbe questo il passaggio corretto "passo-passo", con la rinominazione delle variabili al caso in esame?
E' qui il punto che mi ingarbugliava
$f^\prime$ è una costante ($=v$), non vedo quale altro calcolo tu voglia svolgere.
Ok forse e dico forse ho capito stavolta
\[
f^\prime (x/v) = \left. v \right|_{t=x/v} = v\; .
\]
In effetti sostituisco alla funzione costante v il valore t=x/v, ma essendo costante è sempre v
Sarebbe stato diverso se:
(esempio inventato)
\[
f^\prime = \left. v/t \right|_{t=x/v} = v^2/x\; .
\]
a questo punto sì che sostituivo
------
Se, come spero, mi confermassi che ho interpretato bene la tua ultima dritta vorrei capire
non afferro infatti la differenza tra $f(x)=y$ e $y=f(x)$ mi sembrano la stessa cosa.
La prima mi sembrava dicesse: "la funzione f(x) la chiamo y" per questo scrivevo $S(t)=s$.
Devi scusarmi, ma giungo da un classico e fatico più con queste cose che nel comprendere cose più complesse, però vorrei colmare le mie numerose lacune.
Un enorme grazie a voi!
\[
f^\prime (x/v) = \left. v \right|_{t=x/v} = v\; .
\]
In effetti sostituisco alla funzione costante v il valore t=x/v, ma essendo costante è sempre v
Sarebbe stato diverso se:
(esempio inventato)
\[
f^\prime = \left. v/t \right|_{t=x/v} = v^2/x\; .
\]
a questo punto sì che sostituivo
------
Se, come spero, mi confermassi che ho interpretato bene la tua ultima dritta vorrei capire
"gugo82":
La funzione $f(x)=y$ è la funzione costante che ad ogni $x$ associa il valore $y$.
Se, invece, vuoi scrivere $y=f(x)$ per denotare l’equazione della curva-grafico di $f$, allora la curva-grafico della funzione inversa è $x = f^(-1)(y)$.
non afferro infatti la differenza tra $f(x)=y$ e $y=f(x)$ mi sembrano la stessa cosa.
La prima mi sembrava dicesse: "la funzione f(x) la chiamo y" per questo scrivevo $S(t)=s$.
Devi scusarmi, ma giungo da un classico e fatico più con queste cose che nel comprendere cose più complesse, però vorrei colmare le mie numerose lacune.
Un enorme grazie a voi!
[ot]Non ti preoccupare, queste cose non sono facili, ci si imbroglia facilmente.[/ot]
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