Ancora sul laplaciano
Problema (Concorso di ammissione SNS). Sia $n>1$ un numero intero. Dimostrare che per ogni funzione $u: RR^n \to \RR$ di classe $C^2$ a supporto compatto si ha
\[ \boxed{\displaystyle
\sum_{1\le i, j \le n} \int_{\mathbb R^n} \left\vert \frac{\partial^2u}{\partial x_i \partial x_j} \right\vert^2 dx = \int_{\mathbb R^n} \vert \Delta u \vert^2 dx}
\]
dove $\Delta$ è il laplaciano.
L'enunciato resta ancora vero togliendo l'ipotesi che il supporto di $u$ sia compatto?
Idee in libertà.
Mi date un'idea per piacere? Sono in qualche modo convinto che l'ipotesi sul supporto sia imprescindibile, ma non so come usarla...
Grazie.
\[ \boxed{\displaystyle
\sum_{1\le i, j \le n} \int_{\mathbb R^n} \left\vert \frac{\partial^2u}{\partial x_i \partial x_j} \right\vert^2 dx = \int_{\mathbb R^n} \vert \Delta u \vert^2 dx}
\]
dove $\Delta$ è il laplaciano.
L'enunciato resta ancora vero togliendo l'ipotesi che il supporto di $u$ sia compatto?
Idee in libertà.
Mi date un'idea per piacere? Sono in qualche modo convinto che l'ipotesi sul supporto sia imprescindibile, ma non so come usarla...
Grazie.
Risposte
Quando dici che basterebbe provare che $u_{xy}^2=u_{x x}u_{yy}$ è vero, ma è troppo: così stai chiedendo che le integrande siano uguali puntualmente ovunque, ma richiedere che gli integrali siano uguali è molto meno. Io penso, ad intuito, che il supporto compatto ti serva per far sparire i termini di bordo integrando per parti. Riparti da $\int_{\mathbb R^2}u_{xy}^2dxdy$ e scrivilo come $\int_{\mathbb R^2}u_{xy}u_{xy}dxdy$. Qui comincia a supporre che $u$ sia più regolare e a spostare un po' di derivate integrando per parti, può essere che venga?
Naturalmente, hai ragione.
Con l'integrazione per parti viene subito: infatti
\[
\int_\Omega \frac{\partial u}{\partial x_i} v dx = \int_{\partial \Omega} uv \cdot \nu d\sigma - \int_{\Omega} \frac{\partial v}{ \partial x_i} u dx
\]
da cui, supponendo maggiore regolarità e integrando per parti due volte, abbiamo
\[
\int_\Omega \frac{\partial u_y}{\partial x} u_{xy} dx = \int_{\partial \Omega} uv \cdot \nu d\sigma - \int_{\Omega} u_y u_{xyx} dx = - \int_{\Omega} u_y u_{xyx} dx = \int_{\Omega} u_{yy} u_{xx} dx
\]
dato che i termini di bordo si annullano.
Adesso penso a come scrivere tutto per bene anche in dimensione $n$ e, soprattutto, a come evitare la richiesta di maggiore regolarità. Ti ringrazio molto per il tuo aiuto.
Con l'integrazione per parti viene subito: infatti
\[
\int_\Omega \frac{\partial u}{\partial x_i} v dx = \int_{\partial \Omega} uv \cdot \nu d\sigma - \int_{\Omega} \frac{\partial v}{ \partial x_i} u dx
\]
da cui, supponendo maggiore regolarità e integrando per parti due volte, abbiamo
\[
\int_\Omega \frac{\partial u_y}{\partial x} u_{xy} dx = \int_{\partial \Omega} uv \cdot \nu d\sigma - \int_{\Omega} u_y u_{xyx} dx = - \int_{\Omega} u_y u_{xyx} dx = \int_{\Omega} u_{yy} u_{xx} dx
\]
dato che i termini di bordo si annullano.
Adesso penso a come scrivere tutto per bene anche in dimensione $n$ e, soprattutto, a come evitare la richiesta di maggiore regolarità. Ti ringrazio molto per il tuo aiuto.
No, niente da fare, non sono capace.
Ho provato un po' tutte le formule stile "integrazione per parti" che conosco: ad esempio, oltre quella "classica" del post precedente, pensavo di utilizzare quella che esprime la differenza $\int_{\Omega}gDeltaf-fDeltag dx$ ($f,g \in C^2$ a supporto compatto) come integrale di superficie delle derivate normali, ma niente da fare.
Non riesco a concludere nulla di furbo: c'è ancora da sistemare la storia della regolarità (ho supposto $u$ molto più regolare di quello che è) e poi non riesco a vedere un modo furbo per generalizzare tutto in dimensione $n$.
Qualcuno ha voglia di darmi una mano, per piacere? Grazie in anticipo.
Ho provato un po' tutte le formule stile "integrazione per parti" che conosco: ad esempio, oltre quella "classica" del post precedente, pensavo di utilizzare quella che esprime la differenza $\int_{\Omega}gDeltaf-fDeltag dx$ ($f,g \in C^2$ a supporto compatto) come integrale di superficie delle derivate normali, ma niente da fare.
Non riesco a concludere nulla di furbo: c'è ancora da sistemare la storia della regolarità (ho supposto $u$ molto più regolare di quello che è) e poi non riesco a vedere un modo furbo per generalizzare tutto in dimensione $n$.
Qualcuno ha voglia di darmi una mano, per piacere? Grazie in anticipo.
Mi sembra che il problema della dimensione $n$ sia facilmente risolvibile: non funziona lo stesso trucco? Ogni volta hai le integrande $u_{x_ix_j}^2$ e $u_{x_ix_i}u_{x_jx_j}$ da confrontare, giusto?
Per la regolarità la butto li': se regolarizzi per convoluzione la funzione data di classe $C^2$ hai una funzione di classe $C^\infty$, bisogna accertarsi che tutto passi al limite sotto integrale, almeno fino alle derivate seconde, ma è tutto a supporto compatto qui... verrà?
Per la regolarità la butto li': se regolarizzi per convoluzione la funzione data di classe $C^2$ hai una funzione di classe $C^\infty$, bisogna accertarsi che tutto passi al limite sotto integrale, almeno fino alle derivate seconde, ma è tutto a supporto compatto qui... verrà?
"Paolo90":
c'è ancora da sistemare la storia della regolarità
Butto giù un'idea che mi sta frullando per la testa, potrebbe essere totalmente inutile, inapplicabile o una scemenza.
Paolo, hai provato con i mollificatori?
Ne dovrebbe parlare anche il libro di Evans, "Partial Differential Equations".
EDIT: non avevo visto il post di Luca Lussardi, chiedo scusa per il doppione.
Grazie mille per le vostre risposte. Ottima idea, i mollificatori e regolarizzare per convoluzione.
Prendiamo una famiglia di mollificatori $\eta_{\varepsilon}: RR^n \to RR$. Per definizione, ogni $\eta_{\varepsilon}$ è $C^{\infty}$ quindi, per il teorema di derivazione sotto il segno di integrale, [tex]u_{\varepsilon} := \eta_{\varepsilon} \star u[/tex] è $C^{\infty}$.
Sfruttando questa regolarità, proviamo la tesi usando l'integrazione per parti e spostando un po' di derivate.
A questo punto, basta dimostrare che il limite passa sotto il segno di integrale: ma questo è vero perché, essendo il supporto compatto, $u_{\varepsilon} \to u$ uniformemente per $\varepsilon \to 0$ (e la convergenza uniforme è sufficiente per garantire il passaggio del limite sotto al segno di integrale).
Dovrebbe essere sufficiente il solito argomento (tenendo presente che gli integrali dei mollificatori valgono 1):
\[
\vert u_{\varepsilon}(x) - u(x) \vert = \left \vert \int_{K} \eta_{\varepsilon}(x-y) [u(x)-u(y)] dy \right\vert \le \int_{|x-y|<\varepsilon} \eta_{\varepsilon}(x-y) \vert u(x)-u(y) \vert dy
\]
La $u$ è continua su un compatto (il suo supporto) e quindi è uniformemente continua: fissato $r>0$, esiste $\delta_r>0$ tale che $|x-y| |u(x)-u(y)|
\vert u_{\varepsilon}(x) - u(x) \vert \le \int_{|x-y|<\varepsilon} \eta_{\varepsilon}(x-y) \vert u(x)-u(y) \vert dy \le r \int_{|x-y|<\varepsilon} \eta_{\varepsilon}(x-y) dy = r
\]
per ogni $x \in RR^n$ (il $delta_r$ infatti dipende solo da $r$). Ma ciò significa esattamente che le $\varepsilon$-mollificate tendono uniformemente a $u$.
Lo stesso argomento (dovrebbe?) applicarsi analogamente per dimostrare che $\Delta u_{\varepsilon} \to Delta u$ uniformemente per $\varepsilon \to 0$ (il laplaciano è continuo per l'ipotesi che $u$ sia $C^2$).
Che dite? Vi pare corretto? Grazie mille!
P.S. Sono sempre più convinto sarà una vera e propria disfatta...
Prendiamo una famiglia di mollificatori $\eta_{\varepsilon}: RR^n \to RR$. Per definizione, ogni $\eta_{\varepsilon}$ è $C^{\infty}$ quindi, per il teorema di derivazione sotto il segno di integrale, [tex]u_{\varepsilon} := \eta_{\varepsilon} \star u[/tex] è $C^{\infty}$.
Sfruttando questa regolarità, proviamo la tesi usando l'integrazione per parti e spostando un po' di derivate.
A questo punto, basta dimostrare che il limite passa sotto il segno di integrale: ma questo è vero perché, essendo il supporto compatto, $u_{\varepsilon} \to u$ uniformemente per $\varepsilon \to 0$ (e la convergenza uniforme è sufficiente per garantire il passaggio del limite sotto al segno di integrale).
Dovrebbe essere sufficiente il solito argomento (tenendo presente che gli integrali dei mollificatori valgono 1):
\[
\vert u_{\varepsilon}(x) - u(x) \vert = \left \vert \int_{K} \eta_{\varepsilon}(x-y) [u(x)-u(y)] dy \right\vert \le \int_{|x-y|<\varepsilon} \eta_{\varepsilon}(x-y) \vert u(x)-u(y) \vert dy
\]
La $u$ è continua su un compatto (il suo supporto) e quindi è uniformemente continua: fissato $r>0$, esiste $\delta_r>0$ tale che $|x-y|
\vert u_{\varepsilon}(x) - u(x) \vert \le \int_{|x-y|<\varepsilon} \eta_{\varepsilon}(x-y) \vert u(x)-u(y) \vert dy \le r \int_{|x-y|<\varepsilon} \eta_{\varepsilon}(x-y) dy = r
\]
per ogni $x \in RR^n$ (il $delta_r$ infatti dipende solo da $r$). Ma ciò significa esattamente che le $\varepsilon$-mollificate tendono uniformemente a $u$.
Lo stesso argomento (dovrebbe?) applicarsi analogamente per dimostrare che $\Delta u_{\varepsilon} \to Delta u$ uniformemente per $\varepsilon \to 0$ (il laplaciano è continuo per l'ipotesi che $u$ sia $C^2$).
Che dite? Vi pare corretto? Grazie mille!
P.S. Sono sempre più convinto sarà una vera e propria disfatta...
Per quel che può contare, Paolo, la tua ultima dimostrazione mi sembra corretta! 
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