Ancora sui limiti notevoli..
Mi è rimasto l'ultimo da risolvere facendo uso dei limiti notevoli
ma a quanto pare al momento ne esco sconfitto...
$lim_(x->0)(1-cos^2x^3)/(1-cos^3x^2) cos(1/x)$
Se il numeratore e il denominatore della frazione gli scompongo
rispettivamente nella differenza di due quadrati e nella differenza di due cubi
sono sulla via giusta ?
$(x^2-y^2)=(x+y)(x-y)$ con $x=1$ e $y=cos^2x^3$
$(x^3-y^3)=(x-y)(x^2+y^2+xy)$ con $x=1$ e $y=cos^3x^2$
ma a quanto pare al momento ne esco sconfitto...
$lim_(x->0)(1-cos^2x^3)/(1-cos^3x^2) cos(1/x)$
Se il numeratore e il denominatore della frazione gli scompongo
rispettivamente nella differenza di due quadrati e nella differenza di due cubi
sono sulla via giusta ?
$(x^2-y^2)=(x+y)(x-y)$ con $x=1$ e $y=cos^2x^3$
$(x^3-y^3)=(x-y)(x^2+y^2+xy)$ con $x=1$ e $y=cos^3x^2$
Risposte
Io proverei Taylor.
"Luca.Lussardi":
Io proverei Taylor.
... l'esercizio è fra quelli da risolvere mediante l'utilizzo dei limiti notevoli.
Allora probabilmente ti basta ricordare come si scompongono la differenza di due cubi e la differenza di due quadrati.
Io procederei così:
intanto sostituendo $1-cos^2x^3=sin^2x^3$
Poi scomporrei la differenza di cubi cercando di mettere in evidenza i limiti notevoli $lim_(f(x)->0)(1-cosf(x))/(f^2(x))=1/2$ e $lim_(f(x)->0)(sinf(x))/(f(x))=1$
In questo modo il limite si trasforma in
$lim_(x->0)(sin^2x^3)/(x^3)^2* (x^2)^2/(1-cosx^2) *(x^2 cos(1/x))/(1+cosx^2+cos^2x^2)$
intanto sostituendo $1-cos^2x^3=sin^2x^3$
Poi scomporrei la differenza di cubi cercando di mettere in evidenza i limiti notevoli $lim_(f(x)->0)(1-cosf(x))/(f^2(x))=1/2$ e $lim_(f(x)->0)(sinf(x))/(f(x))=1$
In questo modo il limite si trasforma in
$lim_(x->0)(sin^2x^3)/(x^3)^2* (x^2)^2/(1-cosx^2) *(x^2 cos(1/x))/(1+cosx^2+cos^2x^2)$
Scusate l'intromissione ma sulla base di quello che ha detto @melia non capisco come si affronta $\lim_{x\to 0}x^{2}cos(1/x)$
"Orlok":
Scusate l'intromissione ma sulla base di quello che ha detto @melia non capisco come si affronta $\lim_{x\to 0}x^{2}cos(1/x)$
Limitata * infinitesimo = infinitesimo.
Ah, infatti...quindi è tutto un infinitesimo
Sì, certo.
"gugo82":
Allora probabilmente ti basta ricordare come si scompongono la differenza di due cubi e la differenza di due quadrati.
.... e allora sono andato avanti così. Sono sufficientemente convinto di questo procedimento ed ovviamente sono avvantaggiato
perchè conosco il risultato finale. Come spesso mi è accaduto però, non è detto che sia corretto e quindi attendo conferma.
$lim_(x->0)(1-cos^2x^3)/(1-cos^3x^2) cos(1/x)$
....e uso questi prodotti notevoli:
$(x^2-y^2)=(x+y)(x-y)$ con $x=1$ e $y=cos^2x^3$
$(x^3-y^3)=(x-y)(x^2+y^2+xy)$ con $x=1$ e $y=cos^3x^2$
$lim_(x->0) (1+cosx^3)/((1+cos^2x^2+cosx^2))*(1-cosx^3)/(x^6)*(x^4)/(1-cosx^2)*x^2*cos(1/x)$
$1+cosx^3-> 1+1=2$
$1+cos^2x^2+cosx^2->1+1+1=3$
$(1-cosx^3)/(x^6)->1/2$
$(x^4)/(1-cosx^2)->2$
Per $x^2*cos(1/x)$ ho pensato ai carabinieri:
$-1<=cos(1/x)<=1$ moltiplico per $x^2$.
$-x^2<=(x^2*cos(1/x))<=x^2$
per x che tende a zero ho:
$0<=x^2*cos(1/x)<=0$ quindi $x^2*cos(1/x)->0$
In conclusione:
$2/3*1/2*2*0 = 0$
$lim_(x->0)(1-cos^2x^3)/(1-cos^3x^2) cos(1/x)=0$
Conferme.....
Esatto.
Una cosa sola:
senza alcun dubbio è corretto il ragionamento che hai fatto con il teorema sulla convergenza assoluta (carabinieri) però io l'avrei sostituito con un ragionamento più banale e immediato, cioè:
il limite del prodotto di una funzione infinitesima per una limitata e non necessariamente discosta da $0$* è ancora infinitesimo.
Cioè supponi di avere una funzione $f$ infinitesima in un punto $x_0$ (nel nostro caso $f$ corrisponde a $x^2$, che, in effetti, è infinitesimo poichè il $lim_(x->0) x^2 =0$);
poi supponi che $g$ sia una funzione limitata (nel nostro caso $g$ sarebbe il $cos(1/x)$; esso è limitato poiché, come tu stesso hai osservato: $-1<=cos(1/x)<=1$).
Allora possiamo concludere che $lim_(x->x_0) (f*g)=0$
Quindi il $lim_(x->0) (x^2)*(cos(1/x)) =0$.
___________________
* Il fatto che la funzione ($g$) non debba essere necessariamente discosta da $0$; non è banale.
Infatti ti faccio notare che $cos(1/x)$ NON è discosto da $0$ poiché è compreso tra $-1$ e $1$ e quindi passa per $0$; tuttavia abbiamo potuto usare il criterio,poiche questo specifico criterio ce lo permette.
Mentre il limite del prodotto di due funzioni, di cui una è infinita e l'altra è limitata è ancora infinito purche la funzione limitata sia discosta da $0$.
Tutto chiaro?
Una cosa sola:
senza alcun dubbio è corretto il ragionamento che hai fatto con il teorema sulla convergenza assoluta (carabinieri) però io l'avrei sostituito con un ragionamento più banale e immediato, cioè:
il limite del prodotto di una funzione infinitesima per una limitata e non necessariamente discosta da $0$* è ancora infinitesimo.
Cioè supponi di avere una funzione $f$ infinitesima in un punto $x_0$ (nel nostro caso $f$ corrisponde a $x^2$, che, in effetti, è infinitesimo poichè il $lim_(x->0) x^2 =0$);
poi supponi che $g$ sia una funzione limitata (nel nostro caso $g$ sarebbe il $cos(1/x)$; esso è limitato poiché, come tu stesso hai osservato: $-1<=cos(1/x)<=1$).
Allora possiamo concludere che $lim_(x->x_0) (f*g)=0$
Quindi il $lim_(x->0) (x^2)*(cos(1/x)) =0$.
___________________
* Il fatto che la funzione ($g$) non debba essere necessariamente discosta da $0$; non è banale.
Infatti ti faccio notare che $cos(1/x)$ NON è discosto da $0$ poiché è compreso tra $-1$ e $1$ e quindi passa per $0$; tuttavia abbiamo potuto usare il criterio,poiche questo specifico criterio ce lo permette.
Mentre il limite del prodotto di due funzioni, di cui una è infinita e l'altra è limitata è ancora infinito purche la funzione limitata sia discosta da $0$.
Tutto chiaro?
Grazie... infinite quadra tutto e non potevi essere più chiaro di così. Spero che questo 3D sia utile anche ad altri, tutto annotato
nel mio quaderno appunti.
nel mio quaderno appunti.
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