Ancora sugli zeri di una funzione
Mi viene chiesto di costruire una funzione \(\displaystyle f(x) \) continua su tutto \(\displaystyle \mathbb{R} \) tale che \(\displaystyle \forall \ c \in \mathbb{R} \) l'equazione \(\displaystyle f(x)-c=0 \) abbia esattamente \(\displaystyle 3 \) soluzioni.
Ora, stavo pensando ai polinomi di grado dispari, ed in particolare a quelli nella forma \(\displaystyle x^{2 \bar{n}+1}- \alpha x \) con \(\displaystyle \bar{n} \in \mathbb{N} \) e \(\displaystyle \alpha \in \mathbb{R} \), il grafico dei quali assomiglia una 'Z' ruotata di novanta gradi e con gli spigoli smussati. Ho notato che il massimo ed il minimo di tali funzioni cresce ("va verso l'alto") e decresce ("va verso il basso") all'aumentare di \(\displaystyle \alpha \) in \(\displaystyle \mathbb{R} \). Se ponessi dunque \[\displaystyle f(x):= \lim_{\alpha \to +\infty} x^{2 \bar{n}+1}- \alpha x \]
?
Comunque presa una retta orizzontale \(\displaystyle y=c \), avrei esattamente tre intersezioni con il grafico.
Ora, stavo pensando ai polinomi di grado dispari, ed in particolare a quelli nella forma \(\displaystyle x^{2 \bar{n}+1}- \alpha x \) con \(\displaystyle \bar{n} \in \mathbb{N} \) e \(\displaystyle \alpha \in \mathbb{R} \), il grafico dei quali assomiglia una 'Z' ruotata di novanta gradi e con gli spigoli smussati. Ho notato che il massimo ed il minimo di tali funzioni cresce ("va verso l'alto") e decresce ("va verso il basso") all'aumentare di \(\displaystyle \alpha \) in \(\displaystyle \mathbb{R} \). Se ponessi dunque \[\displaystyle f(x):= \lim_{\alpha \to +\infty} x^{2 \bar{n}+1}- \alpha x \]
?
Comunque presa una retta orizzontale \(\displaystyle y=c \), avrei esattamente tre intersezioni con il grafico.
Risposte
Quella lì non mi sembra una buona definizione di $f(x)$. Infatti il limite per mezzo del quale hai definito la $f$ per $x != 0$ è infinito.
Probabile allora che sia una delle mia costruzioni vane. L'idea mi pareva buona, però evidentemente è da sistemarsi, oppure da buttarsi addirittura.
Ciao ad entrambi!
A me sembra che,a parte quanto giustamente osserva Seneca,
ammesso e non concesso come una tal funzione esista sarebbe da scartare di cercarla nel campo dei polinomi tradizionali;
se ci fosse un tal P(x),infatti,dovrebbe passare tre volte dall'asse $vec(x)$(pongo c=0..),
e dunque avrebbe certo un max ed un min relativo
(quest'ultima cosa si vede abbastanza comodomante per via grafica,e formalizzarlo mi sembra,ad istinto,non difficile,
anche se visto l'orario non c'ho provato seriamente e l'ho preso per buono!):
fissando una quota c esterna all'intervallo individuato da questi ultimi,
la retta d'equaz y=c incontrerebbe allora $G_f$ in un sol punto...
Ciò detto,stò perseguendo l'dea d'una funzione con legge di definizione a tratti,
con "sottoleggi" polinomiali scelte ad hoc:
cose del tipo rami di parabola e semirette ben scelte per la continuità e l'altra richiesta..
Problema bello e interessante,comunque:
se trovo tempo(non ora,dai
)
ci rifletto nel weekend e,ammesso che riuscirò a risolverlo,ne riparleremo.
Saluti dal web.
A me sembra che,a parte quanto giustamente osserva Seneca,
ammesso e non concesso come una tal funzione esista sarebbe da scartare di cercarla nel campo dei polinomi tradizionali;
se ci fosse un tal P(x),infatti,dovrebbe passare tre volte dall'asse $vec(x)$(pongo c=0..),
e dunque avrebbe certo un max ed un min relativo
(quest'ultima cosa si vede abbastanza comodomante per via grafica,e formalizzarlo mi sembra,ad istinto,non difficile,
anche se visto l'orario non c'ho provato seriamente e l'ho preso per buono!):
fissando una quota c esterna all'intervallo individuato da questi ultimi,
la retta d'equaz y=c incontrerebbe allora $G_f$ in un sol punto...
Ciò detto,stò perseguendo l'dea d'una funzione con legge di definizione a tratti,
con "sottoleggi" polinomiali scelte ad hoc:
cose del tipo rami di parabola e semirette ben scelte per la continuità e l'altra richiesta..
Problema bello e interessante,comunque:
se trovo tempo(non ora,dai
)ci rifletto nel weekend e,ammesso che riuscirò a risolverlo,ne riparleremo.
Saluti dal web.
Prova a vedere cosa puoi fare con un "mattoncino LEGO" del genere:
[asvg]xmin=0; xmax=3; ymin=-1; ymax=2;
axes("","");
stroke="dodgerblue"; strokewidth=2;
dot([0,0]); line([0,0],[1,1]); line([1,1],[2,0]); line([2,0],[3,1]);[/asvg]
Questo è un esercizio molto divertente... Se non erro, è stato già risolto in passato o da ViciousGoblin o da Rigel.
[asvg]xmin=0; xmax=3; ymin=-1; ymax=2;
axes("","");
stroke="dodgerblue"; strokewidth=2;
dot([0,0]); line([0,0],[1,1]); line([1,1],[2,0]); line([2,0],[3,1]);[/asvg]
Questo è un esercizio molto divertente... Se non erro, è stato già risolto in passato o da ViciousGoblin o da Rigel.
Grazie gugo, mi hai dato un'ottima idea! Espongo quanto ho pensato, sperando di non aver costruito qualcosa di troppo articolato.
Allora, l'idea che mi è venuta è quella di costruire un funzione incollando pezzi di rette e alternando i segni del coefficiente angolare. In pratica è un ripetere all'infinito la costruzione del disegnino di gugo. La sua espressione dovrebbe essere una cosa del tipo \[\displaystyle f(x)= \begin{cases}... \\ x & \mbox{se} -1 \le x \le 1 \\ -x+2 & \mbox{se} \quad 1 < x \le 2 \\ x-2 & \mbox{se} \quad 2 < x \le 4 \\ 6-x & \mbox{se} \quad 4
Può andare?
Allora, l'idea che mi è venuta è quella di costruire un funzione incollando pezzi di rette e alternando i segni del coefficiente angolare. In pratica è un ripetere all'infinito la costruzione del disegnino di gugo. La sua espressione dovrebbe essere una cosa del tipo \[\displaystyle f(x)= \begin{cases}... \\ x & \mbox{se} -1 \le x \le 1 \\ -x+2 & \mbox{se} \quad 1 < x \le 2 \\ x-2 & \mbox{se} \quad 2 < x \le 4 \\ 6-x & \mbox{se} \quad 4
Può andare?
Prova con $c = 1/2$...
EDIT: In effetti manca anche la continuità della $f$.
Forse ti sei confuso. Riguardo all'ultimo "rametto" che hai scritto esplicitamente forse doveva essere $6 - x$ per $x in (4,5]$. Allora direi che va bene.
EDIT: In effetti manca anche la continuità della $f$.
"Delirium":
La sua espressione dovrebbe essere una cosa del tipo \[\displaystyle f(x)= \begin{cases}... \\ x & \mbox{se} -1 \le x \le 1 \\ -x+2 & \mbox{se} \quad 1 < x \le 2 \\ x-2 & \mbox{se} \quad 2 < x \le 4 \\ -4+x & \mbox{se} \quad 4
Forse ti sei confuso. Riguardo all'ultimo "rametto" che hai scritto esplicitamente forse doveva essere $6 - x$ per $x in (4,5]$. Allora direi che va bene.
Ops, ho sbagliato a ricopiare dal quaderno (anche perché non avrebbe avuto senso avere due pezzetti di rette successivi non ortogonali ma paralleli... E' ovvio che si perdeva la continuità ).
Ora ho corretto, grazie.
). Ora ho corretto, grazie.
Ora il giochetto potrebbe essere: trova una espressione esplicita per la tua funzione!
Ci penso nel pomeriggio! Grazie per il rilancio!
"gugo82":
Prova a vedere cosa puoi fare con un "mattoncino LEGO" del genere:
[asvg]xmin=0; xmax=3; ymin=-1; ymax=2;
axes("","");
stroke="dodgerblue"; strokewidth=2;
dot([0,0]); line([0,0],[1,1]); line([1,1],[2,0]); line([2,0],[3,1]);[/asvg]
Ovviamente si può prendere un mattoncino del genere senza far danno:
[asvg]xmin=-1; xmax=2; ymin=-1; ymax=2;
axes("","");
stroke="dodgerblue"; strokewidth=2;
dot([-1,-1]); line([-1,-1],[1,1]); line([1,1],[2,0]);[/asvg]
ed infatti, iterandolo in maniera intelligente, hai il grafico:
[asvg]xmin=-6; xmax=6; ymin=-3; ymax=3;
axes("");
stroke="dodgerblue"; strokewidth=2;
line([-1,-1],[1,1]); line([1,1],[2,0]);
stroke="red"; strokewidth=2;
line([-7,-3],[-5,-1]); line([-5,-1],[-4,-2]); line([-4,-2],[-2,0]); line([-2,0],[-1,-1]); line([2,0],[4,2]); line([4,2],[5,1]); line([5,1],[7,3]);[/asvg]
Per quanto riguarda la forma esplicita, non dubito che sia possibile scriverla (probabilmente usando il valore assoluto in qualche modo).
Tuttavia nota che, se chiami:
\[
u_0(x):= \begin{cases}
x &\text{, se } -1\leq x\leq 1\\
2-x &\text{, se } 1\leq x< 2\\
\end{cases}
\]
e, per ogni \(n\in \mathbb{Z}\), chiami:
\[
u_n(x) := u_0 (x-3n) +n
\]
e poi tronchi a zero le \(u_n\) fuori dal loro dominio naturale (che è \(\operatorname{Dom} u_n := [3n-1,3n+2[\)), la funzione \(u\) definita ponendo:
\[
u(x) := \sum_{n=-\infty}^\infty u_n(x)
\]
hai una espansione in serie della funzione di cui hai disegnato il grafico a mattoncini.
C'è poi una seconda parte di quesito che domanda di provare che non esiste una funzione \(\displaystyle f \) continua su tutto \(\displaystyle \mathbb{R} \) tale che l'equazione \(\displaystyle f(x)=c \) abbia esattamente due soluzioni \(\displaystyle \forall c \in \mathbb{R} \). In analogia con quanto detto sopra, una funzione di questo tipo dovrebbe presentarsi come una sorta di scalinata con gobbe o punte rivolte verso l'alto o verso il basso (oppure come una specie di parabola); tuttavia ne andrebbe senz'altro della continuità, perché per collegare le gobbe tra loro la funzione "dovrebbe impiegare ulteriori rami" che porterebbero a tre il numero delle intersezioni con le rette orizzontali.
Tutto questo a livello moooolto intuitivo, e visivo. Ma si potrebbe formalizzare in qualcosa di decente?
Tutto questo a livello moooolto intuitivo, e visivo. Ma si potrebbe formalizzare in qualcosa di decente?
Penso di aver abbozzato una dimostrazione... Ora la controllo e se mai la posto.
Ecco l'abbozzo:
Supponiamo per assurdo che una siffatta $f$ esista.
Premettiamo una cosa: deve aversi che $lim_(x -> +oo) f(x) = +oo$ e $lim_(x -> -oo) f(x) = -oo$ (o viceversa). Qui andrebbero spese due paroline in più, forse, sull'esistenza di questi limiti. (*)
Ora ragioniamo "al finito".
Per ogni $c$ l'equazione $f(x) = c$ ammette esattamente due soluzioni. Mostriamo che, se la funzione assume due volte il valore $0$, necessariamente salta per aria la baracca.
Siano $x_1 < x_2$ i due soli zeri di $f$. Si ha che $f(x) > 0$, $forall x > x_2 $, mentre $f(x) < 0$ , $forall x < x_1$.
Sia $xi in (x_1 , x_2)$ tale che (p. es.) $f(xi) < 0$. Considero $I_1 = [\xi , x_2]$ e $I_2 = [x_1 , \xi]$.
Sia $c_0 \in f ( I_1 ) nn f(I_2)$, con $c_0 < 0$. Poiché, per quanto premesso, $f$ diverge negativamente per $x -> -oo$ e $f(x_1) = 0$, si avrà, per la continuità di $f$, che $f({(-oo , x_1)}) = (0,-oo)$ e quindi il valore $c_0 < 0$ è assunto da $f$ ancora una volta (una terza volta) fuori da $(x_1 , x_2)$.
(*) [size=85]Secondo me il fatto che $f(x) = c$ abbia esattamente due soluzioni, qualunque sia $c$, garantirebbe l'esistenza dei suddetti (ed escluderebbe anche la possibilità di avere lo stesso segno di infinito per ambedue i limiti contemporaneamente).[/size]
Supponiamo per assurdo che una siffatta $f$ esista.
Premettiamo una cosa: deve aversi che $lim_(x -> +oo) f(x) = +oo$ e $lim_(x -> -oo) f(x) = -oo$ (o viceversa). Qui andrebbero spese due paroline in più, forse, sull'esistenza di questi limiti. (*)
Ora ragioniamo "al finito".
Per ogni $c$ l'equazione $f(x) = c$ ammette esattamente due soluzioni. Mostriamo che, se la funzione assume due volte il valore $0$, necessariamente salta per aria la baracca.
Siano $x_1 < x_2$ i due soli zeri di $f$. Si ha che $f(x) > 0$, $forall x > x_2 $, mentre $f(x) < 0$ , $forall x < x_1$.
Sia $xi in (x_1 , x_2)$ tale che (p. es.) $f(xi) < 0$. Considero $I_1 = [\xi , x_2]$ e $I_2 = [x_1 , \xi]$.
Sia $c_0 \in f ( I_1 ) nn f(I_2)$, con $c_0 < 0$. Poiché, per quanto premesso, $f$ diverge negativamente per $x -> -oo$ e $f(x_1) = 0$, si avrà, per la continuità di $f$, che $f({(-oo , x_1)}) = (0,-oo)$ e quindi il valore $c_0 < 0$ è assunto da $f$ ancora una volta (una terza volta) fuori da $(x_1 , x_2)$.
(*) [size=85]Secondo me il fatto che $f(x) = c$ abbia esattamente due soluzioni, qualunque sia $c$, garantirebbe l'esistenza dei suddetti (ed escluderebbe anche la possibilità di avere lo stesso segno di infinito per ambedue i limiti contemporaneamente).[/size]
Questa dimostrazione non mi piace per niente, spero almeno sia giusta. Se qualcuno trova qualche schifezza è vivamente invitato a segnalarla.
@seneca: mi sembra che l'idea iniziale vada bene.
Se \(x_1 < x_2\) sono i due zeri di \(f\), allora \(f\) ha segno positivo in \((x_1, x_2)\) e negativo in \((-\infty, x_1)\cup(x_2, +\infty)\), o viceversa.
Supponiamo si verifichi il primo caso. Nell'intervallo \([x_1, x_2]\) la funzione ammette massimo assoluto, che per quanto detto è anche massimo assoluto in tutto \(\mathbb{R}\). Per i valori di \(c\) maggiori del massimo di \(f\) l'equazione \(f=c\) non ha alcuna soluzione.
Se \(x_1 < x_2\) sono i due zeri di \(f\), allora \(f\) ha segno positivo in \((x_1, x_2)\) e negativo in \((-\infty, x_1)\cup(x_2, +\infty)\), o viceversa.
Supponiamo si verifichi il primo caso. Nell'intervallo \([x_1, x_2]\) la funzione ammette massimo assoluto, che per quanto detto è anche massimo assoluto in tutto \(\mathbb{R}\). Per i valori di \(c\) maggiori del massimo di \(f\) l'equazione \(f=c\) non ha alcuna soluzione.
Grazie. Domani ci medito sopra.
Per la prima parte di quesito questa: [tex]f(x)=-\frac{3}{\pi }\arcsin(\cos x)+x[/tex] come vi pare?
"Rigel":
@seneca: mi sembra che l'idea iniziale vada bene.
Oh, ti ringrazio...
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