Ancora serie di Laurent
Salve a tutti ,
ho ancora un problema riguardante uno sviluppo di Laurent .
Allora io ho :
$ f(z)=1/(z^2+1)^2= 1/((z-i)^2 (z+i)^2) $
e devo trovare lo sviluppo in serie di Laurent centrata in $z_0=i$
Chiaramente
$ 1/((z-i)^2 $
mi sta bene così comè , allora vado a lavorare su
$ 1/((z+i)^2 $
Inizialmente ho pensato di concentrarmi su
$ 1/((z+i) $
allora
$ 1/(z+i)=1/(i(z/i+1))=1/(i(1+1/i(z+i-i)))=1/(2i)1/(1+1/(2i)(z-i)) =$
$ sum_(n = 0 )1/(2^n)i^(n)(z-i)^n $
Dato che io in realtà avevo
$ 1/((z+i)^2 $
e questa è proprio la derivata della funzione che ho sviluppato , a meno di un segno,
ho pensato di derivare la serie che ho trovato e di inserire il segno meno mancante
( è legale ?)Io credo di si.
Il fatto è che poi procedendo nello sviluppo mi esce fuori una serie di Laurent che parte dall' indice negativo $-3$ ,
cosa che non dovrebbe essere dato che ho un polo di ordine 2 in $z_0=i$
ho ancora un problema riguardante uno sviluppo di Laurent .
Allora io ho :
$ f(z)=1/(z^2+1)^2= 1/((z-i)^2 (z+i)^2) $
e devo trovare lo sviluppo in serie di Laurent centrata in $z_0=i$
Chiaramente
$ 1/((z-i)^2 $
mi sta bene così comè , allora vado a lavorare su
$ 1/((z+i)^2 $
Inizialmente ho pensato di concentrarmi su
$ 1/((z+i) $
allora
$ 1/(z+i)=1/(i(z/i+1))=1/(i(1+1/i(z+i-i)))=1/(2i)1/(1+1/(2i)(z-i)) =$
$ sum_(n = 0 )1/(2^n)i^(n)(z-i)^n $
Dato che io in realtà avevo
$ 1/((z+i)^2 $
e questa è proprio la derivata della funzione che ho sviluppato , a meno di un segno,
ho pensato di derivare la serie che ho trovato e di inserire il segno meno mancante
( è legale ?)Io credo di si.
Il fatto è che poi procedendo nello sviluppo mi esce fuori una serie di Laurent che parte dall' indice negativo $-3$ ,
cosa che non dovrebbe essere dato che ho un polo di ordine 2 in $z_0=i$
Risposte
Il mio professore di Analisi Complessa ha svolto lo stesso esercizio ieri, ti dico come ha fatto lui.
Posta $g(z)=\frac1{(z+i)^2}$, si ha che $f(z)=\frac{g(z)}{(z-i)^2}$. Puoi sviluppare $g$ in serie di Taylor come $$g(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{g^{(n)}(i)}{n!}(z-i)^n.$$ E quindi hai che $$f(z)=\frac1{(z-i)^2}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{g^{(n)}(i)}{n!}(z-i)^n,$$ e rimaneggiando gli indici ottieni $$f(z)=\sum_{n=-2}^{+\infty}\frac{g^{(n+2)}(i)}{(n+2)!}(z-i)^n.$$
Sulla legalità delle tue azioni non so che dire, sicuramente sai più cose di me di AC.
Posta $g(z)=\frac1{(z+i)^2}$, si ha che $f(z)=\frac{g(z)}{(z-i)^2}$. Puoi sviluppare $g$ in serie di Taylor come $$g(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{g^{(n)}(i)}{n!}(z-i)^n.$$ E quindi hai che $$f(z)=\frac1{(z-i)^2}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{g^{(n)}(i)}{n!}(z-i)^n,$$ e rimaneggiando gli indici ottieni $$f(z)=\sum_{n=-2}^{+\infty}\frac{g^{(n+2)}(i)}{(n+2)!}(z-i)^n.$$
Sulla legalità delle tue azioni non so che dire, sicuramente sai più cose di me di AC.
Grazie per la risposta ,
ma cos' è $g^(n) ?$
ma cos' è $g^(n) ?$
Ah, scusa, $g^{(n)}(i)$ è la derivata $n$-esima di $g$, calcolata in $i$. In effetti il mio professore ha lasciato proposta la ricerca di una formula che esprima ricorsivamente le derivate di ogni ordine di $g$.
Io l'esame ce l'ho venerdì 
Grazie per la risposta ,buono studio
Grazie per la risposta ,buono studio
E di che?.. In bocca al lupo!
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