Ancora Serie di funzioni
Stabilire se la seguente serie converge totalmente:
$sum_(n=1)^(+oo)nsin^nx , x in I=[0,\pi/4]$
Svolgimento:
La condizione necessaria per la convergenza della serie è verificata in quanto $(sinx)^n->0 , n->+oo$. Fisso n e vado a studiare la convergenza totale trovando $f'_n(x)$. Dato che siamo in un compatto $M_n=maxf_n(x)=f_n(\pi/4)=n(sqrt(2)/2)^n$
Quindi $sum nsin^nx < sum n(sqrt(2)/2)^n$. Tale serie dovrebbe convergere per il criterio della radice. Quindi c'è convergenza totale in $[0,\pi/4]$
Di nuovo grazie!
$sum_(n=1)^(+oo)nsin^nx , x in I=[0,\pi/4]$
Svolgimento:
La condizione necessaria per la convergenza della serie è verificata in quanto $(sinx)^n->0 , n->+oo$. Fisso n e vado a studiare la convergenza totale trovando $f'_n(x)$. Dato che siamo in un compatto $M_n=maxf_n(x)=f_n(\pi/4)=n(sqrt(2)/2)^n$
Quindi $sum nsin^nx < sum n(sqrt(2)/2)^n$. Tale serie dovrebbe convergere per il criterio della radice. Quindi c'è convergenza totale in $[0,\pi/4]$
Di nuovo grazie!
Risposte
Io sono d'accordo.
Se hai già studiato le serie di potenze potevi anche porre $senx=y$ e notare che l'intervallo dato dal raggio di convergenza è più ampio di $I$. Da cui avresti potuto concludere che la convergenza è totale in $I$.
Se hai già studiato le serie di potenze potevi anche porre $senx=y$ e notare che l'intervallo dato dal raggio di convergenza è più ampio di $I$. Da cui avresti potuto concludere che la convergenza è totale in $I$.
Questa mattina mi appresto allo studio delle serie di potenze e immagino, come mi ha consigliato ciampax in un altro topic, sia tutto molto più facile ^^
Grazie ancora!
Grazie ancora!
Ecco un altro esercizio:
Stabilire se la seguente serie converge totalmente: $sum_(n=1)^(+oo)(x-1)^n/(n!) , x in RR$.
Svolgimento:
Se la vediamo come serie di potenze, allora con una sostituzione $y=(x-1)$ semplifico la forma della serie e tramite il criterio di d'Alemebert trovo che il raggio di convergenza della serie è $\rho=+oo$, quindi la serie converge assolutamente $AAy in RR$. La serie di partenza non converge totalmente in $RR$. Se poi volessimo studiare la convergenza totale, allora posso dire che la serie converge totalmente $AAx in [-a+1,a+1] \subset RR$. Va bene così?!
Stabilire se la seguente serie converge totalmente: $sum_(n=1)^(+oo)(x-1)^n/(n!) , x in RR$.
Svolgimento:
Se la vediamo come serie di potenze, allora con una sostituzione $y=(x-1)$ semplifico la forma della serie e tramite il criterio di d'Alemebert trovo che il raggio di convergenza della serie è $\rho=+oo$, quindi la serie converge assolutamente $AAy in RR$. La serie di partenza non converge totalmente in $RR$. Se poi volessimo studiare la convergenza totale, allora posso dire che la serie converge totalmente $AAx in [-a+1,a+1] \subset RR$. Va bene così?!
Mmm, sei sicuro che per il criterio di d'Alembert $rho=(lim_(n->+oo) n/(n+1))^(-1)$ il raggio sia quello?
Ho editato...avevo mancato un fattoriale al denominatore...
Ok, allora sì. La serie converge uniformemente e totalmente in tutti i compatti di $RR$.
Thanx!
Studiare la seguente serie: $sum_(n=1)^(+oo) n^(3)2^(n)x^n$, e determinare il suo raggio di convergenza.
Svolgimento:
Ho applicato il criterio di Cauchy-Hadamard e ho notato che $\rho=1/2$, quindi c'è convergenza assoluta in
$]-1/2,1/2[$, mentre c'è convergenza totale in ogni compatto contenuto nell'intervallo precedente.
Domanda: Quando studio le serie di potenze, posso anche evitare di verificare la condizione necessaria per la convergenza? Cioè i criteri di Cauchy-Hadamard e di d'Alembert in un certo senso lo verificano lo stesso?
grazie!
Svolgimento:
Ho applicato il criterio di Cauchy-Hadamard e ho notato che $\rho=1/2$, quindi c'è convergenza assoluta in
$]-1/2,1/2[$, mentre c'è convergenza totale in ogni compatto contenuto nell'intervallo precedente.
Domanda: Quando studio le serie di potenze, posso anche evitare di verificare la condizione necessaria per la convergenza? Cioè i criteri di Cauchy-Hadamard e di d'Alembert in un certo senso lo verificano lo stesso?
grazie!
Spiegati meglio, intendi dire che puoi evitare di verificare la condizione necessaria per quale tipo di convergenza? Quella uniforme?
Ho notato che in molti esempi sulle serie di potenze sia il mio docente sia il libro evitano di studiare la condizione necessaria per la convergenza della serie, cioè noto che applicando uno dei due criteri riesco a capire comunque se la serie converge o meno. Ad esempio se $rho=0$ allora so che converge solo in $x=0$. Allo stesso tempo ho notato che se invece mi soffermo sullo studio del $lim f_n(x)$ se impongo come condizione che $f_n(x)->0$ in alcuni casi riesco comunque a trovare il raggio di convergenza della serie.
Ok era quello che pensavo, c'è un lemma facile da dimostrare che vale per le serie di potenze, ci sarà senz'altro anche sul tuo libro.
Data una serie di potenze centrata nell'origine convergente puntualmente in un punto $y!=0$, la serie converge puntualmente su $(-|y|,|y|)$.
Con questo si dimostra quello che non ti spieghi sul raggio di convergenza, se non trovi le dimostrazioni te le posso far avere, ma non è niente di complicato, potresti provarci anche da solo.
Data una serie di potenze centrata nell'origine convergente puntualmente in un punto $y!=0$, la serie converge puntualmente su $(-|y|,|y|)$.
Con questo si dimostra quello che non ti spieghi sul raggio di convergenza, se non trovi le dimostrazioni te le posso far avere, ma non è niente di complicato, potresti provarci anche da solo.
Si si ce l'ho la dimostrazione e penso di aver capito...
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