Ancora serie
Scusate ancora ragazzi avrei ancora un dubbio...
Devo determinare per quali $x in RR$ la seguente serie converge: $sum ln(1+n|x|^n)$.
Io ho ragionato in questo modo, confrontando questa serie con $n|x|^n$ che risulta convergente per $|x|<1$, ed essendo $lim_n (ln(1+n|x|^n))/(n|x|^n)=1$ si ha che tutta la serie è convergente se $|x|<1$. Ed in effetti il risultato del libro è quello.
Ma il punto è che non son convinto che quel limite faccia $1$... sono ragionevolmente propenso a pensar ciò ma potrei benissimo sbagliarmi
Che mi dite?
Devo determinare per quali $x in RR$ la seguente serie converge: $sum ln(1+n|x|^n)$.
Io ho ragionato in questo modo, confrontando questa serie con $n|x|^n$ che risulta convergente per $|x|<1$, ed essendo $lim_n (ln(1+n|x|^n))/(n|x|^n)=1$ si ha che tutta la serie è convergente se $|x|<1$. Ed in effetti il risultato del libro è quello.
Ma il punto è che non son convinto che quel limite faccia $1$... sono ragionevolmente propenso a pensar ciò ma potrei benissimo sbagliarmi
Che mi dite?
Risposte
"mistake89":
Scusate ancora ragazzi avrei ancora un dubbio...
Devo determinare per quali $x in RR$ la seguente serie converge: $sum ln(1+n|x|^n)$.
Io ho ragionato in questo modo, confrontando questa serie con $n|x|^n$ che risulta convergente per $|x|<1$, ed essendo $lim_n (ln(1+n|x|^n))/(n|x|^n)=1$ si ha che tutta la serie è convergente se $|x|<1$. Ed in effetti il risultato del libro è quello.
Ma il punto è che non son convinto che quel limite faccia $1$... sono ragionevolmente propenso a pensar ciò ma potrei benissimo sbagliarmi
Che mi dite?
Io ragionerei sulla condizione necessaria alla convergenza prima di trarre conclusioni... una volta considerata quella, con una equivalenza asintotica o con il limite notevole si arriva al risultato.
Ma ragiona sulla C.N. alla convergenza e vedrai che capirai
Cioè sul fatto che il termine $n$-simo di una serie convergente è infinitesimo?
"mistake89":
Cioè sul fatto che il termine $n$-simo di una serie convergente è infinitesimo?
Sì. Nella fattispecie, quando la successione $a_n = log(1 + n |x|^n)$ è infinitesima?
se $n|x|^n$ tende a $0$...
"mistake89":
se $n|x|^n$ tende a $0$...
E quindi se...
completa il ragionamento che sei sulla buona strada!
io so che $lim_n n^b/a^n=0$ con $a >1,b>0$, quindi direi se $0<|x|<1$
Comunque, un flash: $log(1+x)=x+o(x)$ per $x\to0$. Te lo ricordi subito se visualizzi il grafico di $log$ e osservi che è un infinitesimo del primo ordine intorno ad $1$.
Si Dissonance questo lo ricordavo ecco perchè ho dedotto il limite del primo post...
"mistake89":
io so che $lim_n n^b/a^n=0$ con $a >1,b>0$, quindi direi se $0<|x|<1$
Ok ci sei!
Infatti se $0 < |x| < 1$, $n|x|^n -> 0$ e $log(1+n|x|^n) ~= n|x|^n$, pertanto per il criterio del confronto asintotico puoi dire che la serie converge.
invece se $x=0$ o $|x|>0$, allora $n|x|^n -> +oo$ e pertanto la serie diverge in quanto viene a mancare la condizione necessaria alla convergenza.
Perfetto... ovviamente il libro omette $|x|>0$ essendo il valore assoluto sempre positivo...
Grazie mille per l'aiuto.
Purtroppo alcune serie mi mettono in seria difficoltà
Grazie mille per l'aiuto.
Purtroppo alcune serie mi mettono in seria difficoltà
"mistake89":
Perfetto... ovviamente il libro omette $|x|>0$ essendo il valore assoluto sempre positivo...
Grazie mille per l'aiuto.
Purtroppo alcune serie mi mettono in seria difficoltà
Il valore assoluto è sempre positivo ma non sempre strettamente positivo!
Se $x=0$, $|x|=0$... quindi non andrebbe omesso!
Cmq in effetti lo omette perché se $x=0$, la serie diventa una somma di infiniti zeri... ed è quindi convergente a zero ovviamente. Prima ho scritto una fesseria, devo aver fatto confusione tra base ed esponente!
Quindi correggo il tiro, per $|x|>=1$ la serie diverge, per $|x|<1$ converge.
Vi propongo questa serie risolta, così vedo se ho capito come muovermi... Grazie in anticipo della pazienza
Sia $x in RR$ e consideriamo la serie $sum (x^n)/(2+x^n)$. Considero la serie a termini positivi $sum |x|^n/(2+|x|^n)$.
Se $lim_n |x|^n/(2+|x|^n)=1$ la serie non può convergere. Ciò avviene se $|x|>1$.
Sia quindi $|x|<1$ allora considero $lim_n (a_(n+1))/(a_n)=lim_n (|x|(2+|x|^n)/(2+|x|^(n+1))=|x|$ che è minore di $1$ e pertanto la serie converge.
Tutto giusto?
Grazie ancora
Sia $x in RR$ e consideriamo la serie $sum (x^n)/(2+x^n)$. Considero la serie a termini positivi $sum |x|^n/(2+|x|^n)$.
Se $lim_n |x|^n/(2+|x|^n)=1$ la serie non può convergere. Ciò avviene se $|x|>1$.
Sia quindi $|x|<1$ allora considero $lim_n (a_(n+1))/(a_n)=lim_n (|x|(2+|x|^n)/(2+|x|^(n+1))=|x|$ che è minore di $1$ e pertanto la serie converge.
Tutto giusto?
Grazie ancora
A parte un piccolo up per la serie seguente scrivo due nuove serie.
$sum 2^(2nx)$. Applicando il criterio della radice si ha che $lim_n 2^(2x)=2^(2x)$. Quindi per $x<0$ la serie risulta convergente. Il risultato del libro però è mai.
Che abbia sbagliato?
Questa invece non riesco a risolverla.
$sum (2^n+3^n)/(3^n+4^n) x^(2n+1)$. Pur riconducendomi alla serie a termini positivi ed applicando il criterio della radice, non riesco a calcolare il $lim_n root(n) ( (2^n+3^n)/(3^n+4^n))$. Avevo pensato di mettere in evidenza $4^n$, ottengo la forma indeterminata $0^0$ che non riesco a sciogliere.
Grazie dell'aiuto!
$sum 2^(2nx)$. Applicando il criterio della radice si ha che $lim_n 2^(2x)=2^(2x)$. Quindi per $x<0$ la serie risulta convergente. Il risultato del libro però è mai.
Che abbia sbagliato?
Questa invece non riesco a risolverla.
$sum (2^n+3^n)/(3^n+4^n) x^(2n+1)$. Pur riconducendomi alla serie a termini positivi ed applicando il criterio della radice, non riesco a calcolare il $lim_n root(n) ( (2^n+3^n)/(3^n+4^n))$. Avevo pensato di mettere in evidenza $4^n$, ottengo la forma indeterminata $0^0$ che non riesco a sciogliere.
Grazie dell'aiuto!
Il Giusti sarà pieno di bellissimi esercizi ma mi sa che i risultati lasciano un po' a desiderare...
$sum (2^(nx))/(1+2^(nx))$. A me risulta convergente per $x<0$, mentre sul Giusti unisce quest'intervallo a $x>1$, ma se provo a stabilire il carattere della seguente serie $sum (2^(2x))/(1+2^(2x))$ a me non viene convergente...
Sbaglio io?
$sum (2^(nx))/(1+2^(nx))$. A me risulta convergente per $x<0$, mentre sul Giusti unisce quest'intervallo a $x>1$, ma se provo a stabilire il carattere della seguente serie $sum (2^(2x))/(1+2^(2x))$ a me non viene convergente...
Sbaglio io?
Nessuno?
Stai parlando di questa $sum |x|^n/(2+|x|^n)$?
Beh scusami se $-1
Se non è questa scusami
Beh scusami se $-1
Se non è questa scusami
L'ultima serie non converge per $x>=0$, hai ragione. Non si verifica la condizione necessaria alla convergenza.
perfetto, grazie Dissonance
E quanto alle altre? Sto un po' impazzendo in questi giorni!
E quanto alle altre? Sto un po' impazzendo in questi giorni!
"mistake89":Neanche col criterio del rapporto, riesci?
Questa invece non riesco a risolverla.
$sum (2^n+3^n)/(3^n+4^n) x^(2n+1)$...
No, mi blocco nel calcolare il limite che ne vien fuori... cioè $|x|^2 lim_n (2^(n+1)+3^(n))/(3^(n+1)+4^(n+1)) (3^n+2^(2n))/(2^n+3^n)$
EDIT: soluzione stupida... che basti divide per il max tra i coefficienti?
EDIT: soluzione stupida... che basti divide per il max tra i coefficienti?
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