Ancora residui
Salve,
Su di un libro di matematica per l'ingegneria ho trovato il seguente esercizio:
Utilizzando il teorema dei residui verificare che
$int_{-oo}^{oo}1/(x^2+x+1) dx = 2*pi/sqrt(3)$ . Io ho inteso $gamma: [0,pi] in C, gamma(t) = exp(it)$ come circuito.
Io ho ottenuto quel risultato intendendo l'integrale in senso generalizzato,cioè come se le $x $fossero $z.$
Nel caso dell'esercizio,essendoci delle$ x$, non si deve calcolare l'integrale solo per la parte reale??
Ciao,
Su di un libro di matematica per l'ingegneria ho trovato il seguente esercizio:
Utilizzando il teorema dei residui verificare che
$int_{-oo}^{oo}1/(x^2+x+1) dx = 2*pi/sqrt(3)$ . Io ho inteso $gamma: [0,pi] in C, gamma(t) = exp(it)$ come circuito.
Io ho ottenuto quel risultato intendendo l'integrale in senso generalizzato,cioè come se le $x $fossero $z.$
Nel caso dell'esercizio,essendoci delle$ x$, non si deve calcolare l'integrale solo per la parte reale??
Ciao,
Risposte
No, no, aspetta un attimo, ti stai confondendo (credo). Questo esercizio è il calcolo di un integrale reale di variabile reale, che tra l'altro si può risolvere anche con metodi elementari (fratti semplici). Quindi non devi direttamente effettuare il calcolo di un integrale di variabile complessa su un circuito.
Però, se prendi una famiglia di circuiti, dipendente dal parametro $a$, come questa (il disegno è sulla wikipedia inglese - ignora il punto $i$ che è polo di un'altra funzione):
ti accorgi che, per $a\toinfty$, l'integrale lungo questi circuiti è definitivamente costante, diciamo che è uguale a $C$.
A questo punto consideri separatamente l'integrale lungo il "pezzo dritto" del circuito e quello lungo il semicerchio: quello lungo il pezzo dritto tende all'integrale reale che vuoi calcolare. Se riesci a dimostrare che l'integrale lungo il semicerchio tende a $0$ per $a\toinfty$, puoi concludere che $int_{-infty}^{infty}(...)=C$.
Questa, MOLTO all'ingrosso, è la tecnica. Per dettagli puoi consultare la wikipedia inglese qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Residue_theorem#Example
Però, se prendi una famiglia di circuiti, dipendente dal parametro $a$, come questa (il disegno è sulla wikipedia inglese - ignora il punto $i$ che è polo di un'altra funzione):
ti accorgi che, per $a\toinfty$, l'integrale lungo questi circuiti è definitivamente costante, diciamo che è uguale a $C$.
A questo punto consideri separatamente l'integrale lungo il "pezzo dritto" del circuito e quello lungo il semicerchio: quello lungo il pezzo dritto tende all'integrale reale che vuoi calcolare. Se riesci a dimostrare che l'integrale lungo il semicerchio tende a $0$ per $a\toinfty$, puoi concludere che $int_{-infty}^{infty}(...)=C$.
Questa, MOLTO all'ingrosso, è la tecnica. Per dettagli puoi consultare la wikipedia inglese qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Residue_theorem#Example
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