Ancora principio di induzione

[Sk_Anonymous]

credo che non ci siano problemi potete dirmi cmq se va bene questo esercizio così svolto?
utilizzare il principio di induzione per dimostrare che la seguente formula per la somma di termini in progressione geometrica è valida $AA n in NN$ e $AA r in RR$
$sum_(k=0)^nr^k=(1-r^(n+1))/(1-r),r!=1
primo passo: $P(0)$ vero
$sum_(k=0)^0r^0=(1-r)/(1-r)=1
$P(2)$ vero:
$sum_(k=0)^2r^k=(1-r^3)/(1-r)=((1-r)(1+r+r^2))/(1-r)=1+r+r^2
supponiamo quindi $P(0),P(1),P(2),...,P(n)$ veri; dobbiamo provare la verità di:
$sum_(k=0)^(n+1)r^k=(1-r^(n+2))/(1-r)=((1-r)(1+r+r^2+r^3+...+r^n+r^(n+1)))/(1-r)=1+r+r^2+r^3+...+r^n+r^(n+1)$ che risulta vera $AA n in NN, r in RR\\{1}$
la formula rimane così provata

[Luca.Lussardi]

Ci sono un po' di cose da sistemare; anzitutto non capisco perchè hai mostrato che $P(2)$ è vera. Basta avere una base per far partire l'induzione, quindi è sufficiente avere $P(0)$ vera.

Poi la dimostrazione filosoficamente va bene, ma non è formalmente corretta.
Per dimostrare che la verità di $P(n)$ implica la verità di $P(n+1)$ bisogna scrivere in questo modo:
$\sum_(k=0)^(n+1)r^k=\sum_(k=0)^nr^k+r^(n+1)$.
Per ipotesi induttiva dunque
$\sum_(k=0)^(n+1)r^k=(1-r^(n+1))/(1-r)+r^(n+1)=(1-r^(n+2))/(1-r)$
che è la tesi.

[Sk_Anonymous]

dunque, sia da dimostrare, con il principio d'induzione:
$AA n>=1, sum_(k=1)^n1/(k(k+1))=1-1/(n+1)
è:
$sum_(k=1)^(1)1/(k(k+1))=1/2=1-1/(1+1)
implica $P(1)$ vero
e
$sum_(k=1)^(n+1)1/(k(k+1))=sum_(k=1)^n1/(k(k+1))+1/((n+1)(n+2))
per ipotesi d'induzione $P(2),P(3),...,P(n)$ veri se e solo se $P(n+1)$ vero:
$sum_(k=1)^(n+1)1/(k(k+1))=1-1/(n+1)+1/((n+1)(n+2))=(n^2+2n+1)/((n+1)(n+2))=((n+1)^2)/((n+1)(n+2))=(n+1)/(n+2)=(n+2-1)/(n+2)=1-1/(n+2)
così come si presenta per un occhio matematico?

[Luca.Lussardi]

Devi solo cambiare la frase:

"micheletv":per ipotesi d'induzione $P(2),P(3),...,P(n)$ veri se e solo se $P(n+1)$ vero:

e mettere:
per ipotesi d'induzione $P(n)$ è vera, e quindi: