Ancora loro....

[Thomas16]

Vediamo un pò... come fareste voi??? Visto che queste funzioni hanno tante definizioni (dimostrabili) equivalenti, sono curioso di conoscere più metodi!! Dimostrare l'uguaglianza:

$x! =2^x/sqrt(pi)(x/2)!((x-1)/2)!$

ciao ciao!!

[Piera4]

Mi sembra sbagliata l'uguaglianza.
Per $x=2$ si ottiene
$Gamma(2)=1$
$2^2/sqrt(pi)Gamma(1)Gamma(1/2)=4$.

[Nidhogg]

"Piera":Mi sembra sbagliata l'uguaglianza.
Per $x=2$ si ottiene
$Gamma(2)=1$
$2^2/sqrt(pi)Gamma(1)Gamma(1/2)=4$.

No, l'uguaglianza è giusta!

Infatti per $x=2$, si ha: $2! =2^2/sqrt(pi)(2/2)!((2-1)/2)! rarr 2=4/sqrt(pi)(1!)(1/2)! rarr 2=4/sqrt(pi)*(sqrt(pi)/2) rarr 2=(2*sqrt(pi))/sqrt(pi) rarr 2=2$

Ciao!

[Piera4]

Giusto!!
Ho considerato $Gamma(x)=x!$ invece di $Gamma(x+1)=x!$.

La formula di duplicazione della funzione Gamma afferma che
$sqrt(pi)Gamma(2z)=2^(2z-1)Gamma(z)Gamma(z+1/2)$
posto $z=(x+1)/2$ si ha
$(x!)=Gamma(x+1)=2^x/sqrt(pi)Gamma((x+1)/2)Gamma((x+1)/2+1/2)=2^x/sqrt(pi)((x-1)/2)!(x/2)!$

[Thomas16]

ok... la "formula di duplicazione" chi la dimostra???

[Piera4]

una dimostrazione della formula di duplicazione è qui:
http://mathworld.wolfram.com/LegendreDu ... rmula.html