Ancora integrali impropri - Convergenza
Buonasera.
Problema. Si studi la convergenza dell'integrale
$int_0^(+oo) dx/sqrt(x-sinx)$.
[size=75](tratto da uno scritto di Analisi I dello scorso anno accademico, Torino)[/size]
Risoluzione. Comincio dicendo: il dominio della funzione è $x-sinx>0$, cioè $x>0$; inoltre, nel suo domino la funzione è sempre positiva. Deduco quindi che l'integrale è improprio sia a $+oo$ (intervallo di integrazione illimitato) sia a $0$, perchè in intorno destro di zero la funzione non è limitata: si vede subito che $lim_(x to 0^+) 1/sqrt(x-sinx)=+oo$.
Quindi, dico che, preso un $a$ reale strettamente positivo ho: $int_0^(+oo) dx/sqrt(x-sinx)=int_0^a dx/sqrt(x-sinx)+int_a^(+oo) dx/sqrt(x-sinx)$. Dirò che l'integrale di partenza converge se entrambi gli integrali in cui risulta essere spezzato convergono (prop. additiva degli estremi di integrazione).
Ora, noto che $sqrt(x-sinx)=o(sqrtx)$ per $x->0^+$: infatti, ho che $lim_(x to 0^+)sqrt(x-sinx)/sqrtx=0$. Da questo, si ha $forall epsilon, " " exists delta " tale che " 0|sqrt(x-sinx)/sqrtx|
In altre parole, fissato $epsilon$ esiste sempre un intorno destro di $0$ di raggio $delta$ per cui se $0
Studio ora $int_a^(+oo) 1/sqrt(x-sinx)dx$. Qui mi basta notare $sinx<=1$, per ogni $x$. Perciò, $x-sinx0$ posso estrarre la radice quadrata e prenderne gli inversi: $1/(sqrt(x-sinx))>1/sqrt(x+1)$. Ma l'integrale $int_a^(+oo )1/sqrt(x+1)dx$ stavolta diverge, per cui diverge anche il nostro.
Concludo quindi che l'integrale proposto diverge.
Bene, non dispongo della soluzione dell'esercizio, per cui non so se è giusto. Secondo voi, quanti errori? che cosa ho sbagliato? Vi va di aiutarmi a capire se ho fatto qualche errore? Vi ringrazio molto per la pazienza e la disponibilità.
Problema. Si studi la convergenza dell'integrale
$int_0^(+oo) dx/sqrt(x-sinx)$.
[size=75](tratto da uno scritto di Analisi I dello scorso anno accademico, Torino)[/size]
Risoluzione. Comincio dicendo: il dominio della funzione è $x-sinx>0$, cioè $x>0$; inoltre, nel suo domino la funzione è sempre positiva. Deduco quindi che l'integrale è improprio sia a $+oo$ (intervallo di integrazione illimitato) sia a $0$, perchè in intorno destro di zero la funzione non è limitata: si vede subito che $lim_(x to 0^+) 1/sqrt(x-sinx)=+oo$.
Quindi, dico che, preso un $a$ reale strettamente positivo ho: $int_0^(+oo) dx/sqrt(x-sinx)=int_0^a dx/sqrt(x-sinx)+int_a^(+oo) dx/sqrt(x-sinx)$. Dirò che l'integrale di partenza converge se entrambi gli integrali in cui risulta essere spezzato convergono (prop. additiva degli estremi di integrazione).
Ora, noto che $sqrt(x-sinx)=o(sqrtx)$ per $x->0^+$: infatti, ho che $lim_(x to 0^+)sqrt(x-sinx)/sqrtx=0$. Da questo, si ha $forall epsilon, " " exists delta " tale che " 0
In altre parole, fissato $epsilon$ esiste sempre un intorno destro di $0$ di raggio $delta$ per cui se $0
Studio ora $int_a^(+oo) 1/sqrt(x-sinx)dx$. Qui mi basta notare $sinx<=1$, per ogni $x$. Perciò, $x-sinx
Concludo quindi che l'integrale proposto diverge.
Bene, non dispongo della soluzione dell'esercizio, per cui non so se è giusto. Secondo voi, quanti errori? che cosa ho sbagliato? Vi va di aiutarmi a capire se ho fatto qualche errore? Vi ringrazio molto per la pazienza e la disponibilità.
Risposte
Di che ordine è l'infinito [tex]$\frac{1}{\sqrt{x-\sin x}}$[/tex] per [tex]$x\to 0^+$[/tex]?
"Gugo82":
Di che ordine è l'infinito [tex]$\frac{1}{\sqrt{x-\sin x}}$[/tex] per [tex]$x\to 0^+$[/tex]?
Ciao Gugo,
ecco, sapevo che tu (giuro proprio a te pensavo!) me lo avresti chiesto. Mi vergogno un po'
a confessarlo, ma ho piantato su qualche casino con gli ordini di infinito e... in poche parole non riesco a determinarlo. Prendiamo [tex]$\frac{1}{\sqrt{x-\sin x}}$[/tex]: per $x->0^+$ è un infinito. Ne determino l'ordine confrontando con il campione $1/|x|^alpha$. Tolgo subito il modulo tanto è positivo, per cui mi chiedo: per quale $alpha>0$ esiste finito e non-nullo il limite
$lim_(x to 0^+) (1/sqrt(x-sinx))/(1/(x)^alpha)= lim_(x to 0^+) x^alpha/sqrt(x-sinx)$?
Bene, io questo benedetto $alpha$ non l'ho trovato. Ho semplicemente osservato che se $alpha<=1/2$ il limite è infinito, mentre per $alpha>1/2$ ho una forma indeterminata $0/0$.
Chiamo il buon vecchio Taylor per telefono e gli chiedo se può venire a trovarmi?
Che suggerisci di fare?
Thank you very much, come al solito.
"Paolo90":
[quote="Gugo82"]Di che ordine è l'infinito [tex]$\frac{1}{\sqrt{x-\sin x}}$[/tex] per [tex]$x\to 0^+$[/tex]?
Chiamo il buon vecchio Taylor per telefono e gli chiedo se può venire a trovarmi?
[/quote]Decisamente.
Ricorda che [tex]$\sin x =x-\frac{1}{6} x^3+\text{o}(x^3)$[/tex].
Ahhhh.
[tex]$x-\sin x =\frac{1}{6} x^3+\text{o}(x^3)$[/tex]. Perciò la mia funzione è $1/sqrt(1/6x^3+o(x^3))$. Concludo che l'ordine di infinito è $3/2>1$. Questo mi dice che l'integrale tra $(0,a]$ diverge.
Fin qui ci siamo?
[tex]$x-\sin x =\frac{1}{6} x^3+\text{o}(x^3)$[/tex]. Perciò la mia funzione è $1/sqrt(1/6x^3+o(x^3))$. Concludo che l'ordine di infinito è $3/2>1$. Questo mi dice che l'integrale tra $(0,a]$ diverge.
Fin qui ci siamo?
Certamente, diverge 
Già.
Quindi come vedi il problema non è solo in [tex]$+\infty$[/tex].
Tutto sommato l'esercizio era banale; non sembrava da prova d'esame.
Quindi come vedi il problema non è solo in [tex]$+\infty$[/tex].
Tutto sommato l'esercizio era banale; non sembrava da prova d'esame.
Grazie mille Camillo.
Perfetto, quindi ho cannato in pieno ciò che ho scritto nel mio primo post.
Qualcuno sarebbe così gentile da dirmi, per piacere, che cosa non va nel ragionamento che ho fatto (prendo il limite e scrivo la definizioni, poi sfrutto le disuguaglianze...)?
Infine, abbiamo trovato che l'integrale tra $(0,a)$ diverge, quindi diverge anche il nostro. Però, per pura curiosità, che succede a $+oo$? E' giusto il ragionamento che ho fatto sopra?
Grazie.
Perfetto, quindi ho cannato in pieno ciò che ho scritto nel mio primo post.
Qualcuno sarebbe così gentile da dirmi, per piacere, che cosa non va nel ragionamento che ho fatto (prendo il limite e scrivo la definizioni, poi sfrutto le disuguaglianze...)?
Infine, abbiamo trovato che l'integrale tra $(0,a)$ diverge, quindi diverge anche il nostro. Però, per pura curiosità, che succede a $+oo$? E' giusto il ragionamento che ho fatto sopra?
Grazie.
Ah, scusa Gugo, non avevo letto.
Deduco quindi che anche a $+oo$ diverge, e forse il ragionamento che ho fatto è corretto.
Un'unica curiosità mi resta (come ho già detto): dov'è l'errore nel ragionamento che ho fatto all'inizio con la definizione di limite?
GRAZIE.
Deduco quindi che anche a $+oo$ diverge, e forse il ragionamento che ho fatto è corretto.
Un'unica curiosità mi resta (come ho già detto): dov'è l'errore nel ragionamento che ho fatto all'inizio con la definizione di limite?
GRAZIE.
Non è corretto da $ -epsilon sqrt(x) < sqrt(x-sin x) $
dedurre che
$1/(sqrt(x-sinx)) < -1/(epsilon sqrt(x))$
un numero positivo minore di uno negativo
dedurre che
$1/(sqrt(x-sinx)) < -1/(epsilon sqrt(x))$
un numero positivo minore di uno negativo
Ah, vero. Brutto errore, mi era proprio sfuggito.
Grazie Camillo e grazie Gugo per le correzioni.
Grazie Camillo e grazie Gugo per le correzioni.
Riesumo questo (neanche troppo) vecchio post per proporre un altro studio su integrale improprio; spero sia giusto, lo posto per avere cortesemente una conferma da voi e perchè possa servire, chissà, a qualche altro utente nel momento del bisogno.
L'integrale è il seguente.[tex]$ \displaystile \int \frac{dx}{2-e^{3x}}$[/tex] che possiamo riscrivere come [tex]$\boxed{- \int \frac{dx}{e^{3x}-2}}$[/tex].
L'esercizio chiede dapprima di calcolare l'integrale indefinito. Questo si può fare facilmente mediante la sostituzione $e^(3x)=t$ che dà $x=1/3lnt$, da cui differenziando, $dx=1/(3t)dt$. L'integrale si risolve rapidamente scomponendo in fratti semplici l'espressione razionale che si ottiene e integrando per somma.
Il risultato, comunque, spero corretto, dovrebbe essere $\int \frac{dx}{2-e^{3x}}=1/2x-1/6ln|e^(3x)-2| + c$, con $c in RR$.
L'esercizio prosegue chiedendo se $\int_1^(+oo) \frac{dx}{2-e^{3x}}$ converge. Questo punto si può svolgere in due modi:
I modo (che insegna a usare il lavoro già fatto). Brutalmente, la primitiva generica (ce la siamo appena calcolata, perchè non usarla? ) in $1$ è ben definita e vale una costante. Per sapere se l'integrale converge basterà calcolare il limite a $+oo$ di una generica primitiva. Se detto limite viene finito allora siamo a posto. E infatti,
$lim_(x to +oo) 1/2x-1/6ln|e^(3x)-2|=lim_(x to +oo) 1/2x-1/6ln(e^(3x)(1-2e^(-3x)))=lim_(x to +oo) -1/6ln(1-2e^(-3x))=0$
per cui possiamo affermare che l'integrale converge.
Se poi proprio vogliamo essere esaurienti possiamo anche dire quanto vale l'integrale su $(1,+oo)$:
$\int_1^(+oo) \frac{dx}{2-e^{3x}}=lim_(x to +oo) 1/2x-1/6ln(e^(3x)-2) - (1/2-1/6ln|e^(3)-2|)=-1/2+1/6ln(e^(3)-2)$.
II modo (più analitico, serio e veloce). Appurato che la funzione integranda è infinitesima per $x to + oo$ possiamo procedere così:
$-1/(e^(3x)-2) sim -1/e^(3x)=-e^(-3x)$ per $x to +oo$. Sappiamo (è un risultato noto) che $int_a^(+oo) e^(-3x)dx$ converge per cui anche il nostro converge.
Infine, l'ultima richiesta dell'esercizio riguarda la convergenza dell'integrale al finito, su $(0,1)$. Il problema, come abbiamo messo in evidenza all'inizio del post, non è nè in $0$ nè in $1$, ma in $x=1/3ln2$ (che è compreso tra $0$ e $1$) perchè in un intorno di questo punto la funzione non è limitata.
Qui conviene ragionare come segue. Vediamo che $lim_(x to 1/3ln2) -1/(e^(3x)-2)$ non esiste. Lavoriamo allora in un intorno sinistro del punto, per esempio, e poi facciamo considerazioni analoghe a destra.
$lim_(x to 1/3ln2^-) " " -1/(e^(3x)-2)=+oo$. La funzione è (ovviamente) un infinito per $x to 1/3ln2$: di che ordine? Se l'ordine di infinito è strettamente minore di $1$ allora l'integrale converge, altrimenti no.
A questo punto non è difficile da determinare l'ordine. Basta (ad esempio) un piccolo trucchetto: cambiamo variabile e scriviamo: $x-1/3ln2=t$. In questo modo $t to 0^-$ e confrontiamo con il campione $1/(-t)^alpha$.
Con qualche piccolo passaggio algebrico, otteniamo
$lim_(t to 0^-) " " - 1/2 (-t)^alpha/(e^(3t)-1)$ e, ricordando un limite notevole, si ha che se $alpha=1$ allora il limite esiste finito non nullo. Quindi l'ordine di infinito è $1$ e l'integrale diverge.
(ovviamente, analoghe considerazioni si potevano trarre dall'analisi del limite per $x to 1/3ln2$ della generica primitiva: si vede subito che viene $-oo$, ma preferivo questa volta procedere con la determinazione dell'ordine di infinito: mi pareva più "carino" e più istruttivo).
Che dite? Tutto giusto o ho preso qualche abbaglio? Vi ringrazio ancora per il consulto.
L'integrale è il seguente.[tex]$ \displaystile \int \frac{dx}{2-e^{3x}}$[/tex] che possiamo riscrivere come [tex]$\boxed{- \int \frac{dx}{e^{3x}-2}}$[/tex].
L'esercizio chiede dapprima di calcolare l'integrale indefinito. Questo si può fare facilmente mediante la sostituzione $e^(3x)=t$ che dà $x=1/3lnt$, da cui differenziando, $dx=1/(3t)dt$. L'integrale si risolve rapidamente scomponendo in fratti semplici l'espressione razionale che si ottiene e integrando per somma.
Il risultato, comunque, spero corretto, dovrebbe essere $\int \frac{dx}{2-e^{3x}}=1/2x-1/6ln|e^(3x)-2| + c$, con $c in RR$.
L'esercizio prosegue chiedendo se $\int_1^(+oo) \frac{dx}{2-e^{3x}}$ converge. Questo punto si può svolgere in due modi:
I modo (che insegna a usare il lavoro già fatto). Brutalmente, la primitiva generica (ce la siamo appena calcolata, perchè non usarla?
) in $1$ è ben definita e vale una costante. Per sapere se l'integrale converge basterà calcolare il limite a $+oo$ di una generica primitiva. Se detto limite viene finito allora siamo a posto. E infatti, $lim_(x to +oo) 1/2x-1/6ln|e^(3x)-2|=lim_(x to +oo) 1/2x-1/6ln(e^(3x)(1-2e^(-3x)))=lim_(x to +oo) -1/6ln(1-2e^(-3x))=0$
per cui possiamo affermare che l'integrale converge.
Se poi proprio vogliamo essere esaurienti possiamo anche dire quanto vale l'integrale su $(1,+oo)$:
$\int_1^(+oo) \frac{dx}{2-e^{3x}}=lim_(x to +oo) 1/2x-1/6ln(e^(3x)-2) - (1/2-1/6ln|e^(3)-2|)=-1/2+1/6ln(e^(3)-2)$.
II modo (più analitico, serio e veloce). Appurato che la funzione integranda è infinitesima per $x to + oo$ possiamo procedere così:
$-1/(e^(3x)-2) sim -1/e^(3x)=-e^(-3x)$ per $x to +oo$. Sappiamo (è un risultato noto) che $int_a^(+oo) e^(-3x)dx$ converge per cui anche il nostro converge.
Infine, l'ultima richiesta dell'esercizio riguarda la convergenza dell'integrale al finito, su $(0,1)$. Il problema, come abbiamo messo in evidenza all'inizio del post, non è nè in $0$ nè in $1$, ma in $x=1/3ln2$ (che è compreso tra $0$ e $1$) perchè in un intorno di questo punto la funzione non è limitata.
Qui conviene ragionare come segue. Vediamo che $lim_(x to 1/3ln2) -1/(e^(3x)-2)$ non esiste. Lavoriamo allora in un intorno sinistro del punto, per esempio, e poi facciamo considerazioni analoghe a destra.
$lim_(x to 1/3ln2^-) " " -1/(e^(3x)-2)=+oo$. La funzione è (ovviamente) un infinito per $x to 1/3ln2$: di che ordine? Se l'ordine di infinito è strettamente minore di $1$ allora l'integrale converge, altrimenti no.
A questo punto non è difficile da determinare l'ordine. Basta (ad esempio) un piccolo trucchetto: cambiamo variabile e scriviamo: $x-1/3ln2=t$. In questo modo $t to 0^-$ e confrontiamo con il campione $1/(-t)^alpha$.
Con qualche piccolo passaggio algebrico, otteniamo
$lim_(t to 0^-) " " - 1/2 (-t)^alpha/(e^(3t)-1)$ e, ricordando un limite notevole, si ha che se $alpha=1$ allora il limite esiste finito non nullo. Quindi l'ordine di infinito è $1$ e l'integrale diverge.
(ovviamente, analoghe considerazioni si potevano trarre dall'analisi del limite per $x to 1/3ln2$ della generica primitiva: si vede subito che viene $-oo$, ma preferivo questa volta procedere con la determinazione dell'ordine di infinito: mi pareva più "carino" e più istruttivo).
Che dite? Tutto giusto o ho preso qualche abbaglio? Vi ringrazio ancora per il consulto.
Ma $(\log 2)/3 < 1$...
"gac":
Ma $(\log 2)/3 < 1$...
"Paolo90":
Il problema, come abbiamo messo in evidenza all'inizio del post, non è nè in $0$ nè in $1$, ma in $x=1/3ln2$ (che è compreso tra $0$ e $1$) perchè in un intorno di questo punto la funzione non è limitata.
Non ho capito.
L'integrale è tra $1 $ e $+oo $ mentre $ln2/3<1 $ e quindi al difuori del campo di interesse. Penso gac volesse dire questo.
"Camillo":
L'integrale è tra $1 $ e $+oo $ mentre $ln2/3<1 $ e quindi al difuori del campo di interesse. Penso gac volesse dire questo.
Appunto.
Infatti, quella considerazione su $1/3ln2$ l'ho fatta dopo, in riferimento ad un altro punto dell'esercizio, che chiedeva di stabilire la convergenza o meno dell'integrale su $(0,1)$.
Ah scusa. Avevo letto solo $\int_1^{+\infty}$ quindi non capivo il motivo dello studio in $(\log 2)/3$.
Su $(0,1)$ hai concluso correttamente che l'integrale non converge.
Su $(0,1)$ hai concluso correttamente che l'integrale non converge.
"gac":
Ah scusa. Avevo letto solo $\int_1^{+\infty}$ quindi non capivo il motivo dello studio in $(\log 2)/3$.
Su $(0,1)$ hai concluso correttamente che l'integrale non converge.
Nessun problema, figurati; ti ringrazio molto per la conferma. Grazie.
Bisogna sempre leggere tutto : lo dico a me stesso 
"Camillo":
Bisogna sempre leggere tutto : lo dico a me stesso
Ma è colpa mia: sono troppo prolisso, perdonatemi.
Grazie ancora.
Aggiungo un'osservazione, abbastanza banale ma che può essere utile.
Quando devi studiare la convergenza di un integrale del tipo $\int_a^b \frac{1}{f(x)} dx$, con $f:[a,b]\to RR$ derivabile che si annulla in un punto $x_0\in (a,b)$, se lo zero è "trasversale" (vale a dire se $f'(x_0) \ne 0$) allora l'ordine di infinito in $x_0$ è $1$ e l'integrale non converge.
Quando devi studiare la convergenza di un integrale del tipo $\int_a^b \frac{1}{f(x)} dx$, con $f:[a,b]\to RR$ derivabile che si annulla in un punto $x_0\in (a,b)$, se lo zero è "trasversale" (vale a dire se $f'(x_0) \ne 0$) allora l'ordine di infinito in $x_0$ è $1$ e l'integrale non converge.
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