Ancora integrali impropri - Convergenza
Buonasera.
Problema. Si studi la convergenza dell'integrale
$int_0^(+oo) dx/sqrt(x-sinx)$.
[size=75](tratto da uno scritto di Analisi I dello scorso anno accademico, Torino)[/size]
Risoluzione. Comincio dicendo: il dominio della funzione è $x-sinx>0$, cioè $x>0$; inoltre, nel suo domino la funzione è sempre positiva. Deduco quindi che l'integrale è improprio sia a $+oo$ (intervallo di integrazione illimitato) sia a $0$, perchè in intorno destro di zero la funzione non è limitata: si vede subito che $lim_(x to 0^+) 1/sqrt(x-sinx)=+oo$.
Quindi, dico che, preso un $a$ reale strettamente positivo ho: $int_0^(+oo) dx/sqrt(x-sinx)=int_0^a dx/sqrt(x-sinx)+int_a^(+oo) dx/sqrt(x-sinx)$. Dirò che l'integrale di partenza converge se entrambi gli integrali in cui risulta essere spezzato convergono (prop. additiva degli estremi di integrazione).
Ora, noto che $sqrt(x-sinx)=o(sqrtx)$ per $x->0^+$: infatti, ho che $lim_(x to 0^+)sqrt(x-sinx)/sqrtx=0$. Da questo, si ha $forall epsilon, " " exists delta " tale che " 0|sqrt(x-sinx)/sqrtx|
In altre parole, fissato $epsilon$ esiste sempre un intorno destro di $0$ di raggio $delta$ per cui se $0
Studio ora $int_a^(+oo) 1/sqrt(x-sinx)dx$. Qui mi basta notare $sinx<=1$, per ogni $x$. Perciò, $x-sinx0$ posso estrarre la radice quadrata e prenderne gli inversi: $1/(sqrt(x-sinx))>1/sqrt(x+1)$. Ma l'integrale $int_a^(+oo )1/sqrt(x+1)dx$ stavolta diverge, per cui diverge anche il nostro.
Concludo quindi che l'integrale proposto diverge.
Bene, non dispongo della soluzione dell'esercizio, per cui non so se è giusto. Secondo voi, quanti errori? che cosa ho sbagliato? Vi va di aiutarmi a capire se ho fatto qualche errore? Vi ringrazio molto per la pazienza e la disponibilità.
Problema. Si studi la convergenza dell'integrale
$int_0^(+oo) dx/sqrt(x-sinx)$.
[size=75](tratto da uno scritto di Analisi I dello scorso anno accademico, Torino)[/size]
Risoluzione. Comincio dicendo: il dominio della funzione è $x-sinx>0$, cioè $x>0$; inoltre, nel suo domino la funzione è sempre positiva. Deduco quindi che l'integrale è improprio sia a $+oo$ (intervallo di integrazione illimitato) sia a $0$, perchè in intorno destro di zero la funzione non è limitata: si vede subito che $lim_(x to 0^+) 1/sqrt(x-sinx)=+oo$.
Quindi, dico che, preso un $a$ reale strettamente positivo ho: $int_0^(+oo) dx/sqrt(x-sinx)=int_0^a dx/sqrt(x-sinx)+int_a^(+oo) dx/sqrt(x-sinx)$. Dirò che l'integrale di partenza converge se entrambi gli integrali in cui risulta essere spezzato convergono (prop. additiva degli estremi di integrazione).
Ora, noto che $sqrt(x-sinx)=o(sqrtx)$ per $x->0^+$: infatti, ho che $lim_(x to 0^+)sqrt(x-sinx)/sqrtx=0$. Da questo, si ha $forall epsilon, " " exists delta " tale che " 0
In altre parole, fissato $epsilon$ esiste sempre un intorno destro di $0$ di raggio $delta$ per cui se $0
Studio ora $int_a^(+oo) 1/sqrt(x-sinx)dx$. Qui mi basta notare $sinx<=1$, per ogni $x$. Perciò, $x-sinx
Concludo quindi che l'integrale proposto diverge.
Bene, non dispongo della soluzione dell'esercizio, per cui non so se è giusto. Secondo voi, quanti errori? che cosa ho sbagliato? Vi va di aiutarmi a capire se ho fatto qualche errore? Vi ringrazio molto per la pazienza e la disponibilità.
Risposte
"gac":
Aggiungo un'osservazione, abbastanza banale ma che può essere utile.
Quando devi studiare la convergenza di un integrale del tipo $\int_a^b \frac{1}{f(x)} dx$, con $f:[a,b]\to RR$ derivabile che si annulla in un punto $x_0\in (a,b)$, se lo zero è "trasversale" (vale a dire se $f'(x_0) \ne 0$) allora l'ordine di infinito in $x_0$ è $1$ e l'integrale non converge.
Ti ringrazio per questa osservazione, tutt'altro che banale per me. Non conoscevo nemmeno la denominazione di zero "trasversale" (anche se non è difficile capire perchè si chiami così: la tangente nel punto non è orizzontale).
Piuttosto, una curiosità, se posso. Questo fatto di cui parli lo si dimostra mediante Taylor, vero?
Sfrutto il fatto che l'ordine di infinito (infinitesimo) di una funzione (per $x to x_0$) corrisponde all'ordine della prima derivata che non si annulla quando viene calcolata in $x_0$.
Corretto?
Grazie.
Basta la definizione di derivata. Poiché $f(x_0) = 0$ e $f'(x_0) \ne 0$, hai che
$\lim_{x\to x_0} \frac{1/f(x)}{1/(x-x_0)} = \lim_{x\to x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)} = \frac{1}{f'(x_0)}$,
quindi l'ordine di infinito è $1$.
$\lim_{x\to x_0} \frac{1/f(x)}{1/(x-x_0)} = \lim_{x\to x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)} = \frac{1}{f'(x_0)}$,
quindi l'ordine di infinito è $1$.
Verissimo. Molto interessante, ti ringrazio.
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