Ancora funzione in due variabili (faccio progressi)

[Sk_Anonymous]

procedimento giusto?

$f:RR^2->RR
$f(x,y)={((e^(|y+2|x^2+x^3)-1)/x^2),(y+2):}
se $x!=0
se $x=0
determinare insiemi di continuità, derivabilità e differenziabilità

1) continuità

$lim_(x->0)f(x,y)=|y+2|={(y+2),(-y-2):}
se $y>=-2
se $y<-2
perciò $f in C(RR^2\\({0}xx(-oo,-2)))

2) derivabilità
$x=0$
$del/(delx)f(0,y)=lim_(t->0)(f(t,y)-f(0,y))/t=...=1$ se $y>=-2
(il limite non esiste se $y<-2$)
$del/(dely)f(0,y)=lim_(t->0)(f(0,y+t)-f(0,y))/t=1

perciò $gradf(0,y)=(1,1)$ se $y>=-2

fino a questo punto possiamo concludere che f non è derivabile in ${0}xx(-oo,-2)

$x!=0

$del/(delx)f(x,y)=(e^(|y+2|x^2+x^3)(|y+2|2x^2+3x^3-2)+2)/x^3
$del/(dely)f(x,y)=sign(y+2)e^(|y+2|x^2+x^3)

verifichiamo la continuità delle derivate parziali in x=0
$lim_(x->0)del/(delx)f(x,y)=...=1
$lim_(x->0)del/(dely)f(x,y)=sign(y+2)=1$ se $y> -2

perciò le derivate parziali sono continue in $RR^2\\({0}xx(-oo,-2])

3) differenziabilità
osserviamo che f è continua in (0,-2) ma non è ivi derivabile, perciò non può nemmeno essere differenziabile in questo punto.
per il teorema 7.3 la funzione è differenziabile in $RR^2\\({0}xx(-oo,-2])

[Luca.Lussardi]

Andiamo con ordine, gia' non capisco la continuita'. Anzitutto $|y+2|$ moltiplica solo $x^2$ o $(x^2+x^3)$?

[Sk_Anonymous]

$|y+2|$ moltiplica solamente $x^2
per la continuità, essendo

$e^(f(x))=1+f(x)(1+o(1))$ per $f(x)->0

risulta
$lim_(x->0)(e^(|y+2|x^2+x^3)-1)/x^2=lim_(x->0)(|y+2|x^2+x^3)/x^2=|y+2|