Ancora dubbi su concetti di teoria dei segnali
Salve ragazzi! Sono qui sperando che possiate chiarirmi altri dubbi su alcuni argomenti di teoria dei segnali ( alla fin fine sempre analisi 
). I dubbi sono i seguenti:
1) Nella definizione di segnale oscillatorio complesso discreto
$x[n]=e^{j2 \pi F_0 n}$
si dice che la frequenza $F_0$ è normalizzata, ovvero che è un numero puro, quindi non più Hertz o cicli al secondo. Cosa significa? Non riesco a pensare a una frequenza senza il significato di numero di cicli al secondo. Cosa intendono dire?
Subito dopo si dice che, rispetto alla variabile temporale discreta $n$, il segnale è periodico solo se la frequenza è un numero razionale $F_0=p/q$. Questo immagino che derivi dal fatto che, se la frequenza non fosse razionale, mettiamo che sia ad esempio naturale o intera, non otterremmo più un segnale periodico perchè il seno si annullerebbe sempre e il coseno oscillerebbe tra 1 e -1, giusto? Ma perchè non viene detto che può essere reale? Non potrebbe esistere un fattore del tipo $cos(\sqrt{2} 2 \pi n)$?
2) Subito dopo le definizioni precedenti, viene chiesto di trovare il periodo $N_0$ dell'oscillazione precendente. Io ho fatto in questo modo:
$x[n]=e^{j2 \pi F_0 n}=x[n + N_0]=e^{j2 \pi F_0 (n+N_0)}$, che possiamo scomporre in $e^{j2 \pi F_0 n}*e^{j2 \pi F_0 N_0}$.
A questo punto, l'uguaglianza precedente è verificata se e solo se l'esponenziale con $N_0$ diventa 1, ovvero se $N_0= 1 / F_0$. E' giusto?
3) Una condizione per l'esistenza della trasformata discreta di Fourier è l'assoluta sommabilità della sequenza, ovvero
$ sum_(-oo)^(+oo)|x[n]|<+oo $
Infatti essendo $|X (f)|=|sum_(-oo)^(+oo) x[n]e^{-j 2 \pi n f T} |<= sum_(-oo)^(+oo)| x[n]|$, ciò assicura la convergenza della serie.
Quale è la condizione che ci permette di portare il valore assoluto dentro la sommatoria? Non viene detto nulla a proposito. Si può fare sempre? Il fatto che ci sia il $<=$ deriva dal fatto che non moltiplichiamo più per l'esponenziale, vero? Il problema è che l'esponenziale è negativo, quindi al denominatore, quindi ancora togliendolo dal prodotto, il risultato non dovrebbe essere più grande?
4) Ultima cosa! Nella descrizione dei teoremi dulla trasf. discreta di fourier, in particolare quello della "modulazione", dice che data una funzione $X(f)$ periodica di periodo $1/T$, la funzione $X(f-f_0)$ ottenuta dopo la modulazione, è ottenuta traslando in frequenza la $X(f)$ di $f_0$. Inoltre, la $X(f-f_0)$ coincide con la funzione $X(f- |f_0|_{1/T})$ ottenuta traslando sempre la funzione $X(f)$ della quantità $|f_0|_{1/T}=f_0 - m/T $ dove $m=$int$(f_0 /( 1/T))$ ovvero $f_0$ modulo $1/T$. Che cosa significa? Non mi è chiaro niente di tutto ciò e non riesco minimamente ad immaginarlo graficamente. In particolare, perchè quella m è data da quella formula?
Spero tanto in un vostro aiuto più o meno tempestivo. Grazie in anticipo.
). I dubbi sono i seguenti:1) Nella definizione di segnale oscillatorio complesso discreto
$x[n]=e^{j2 \pi F_0 n}$
si dice che la frequenza $F_0$ è normalizzata, ovvero che è un numero puro, quindi non più Hertz o cicli al secondo. Cosa significa? Non riesco a pensare a una frequenza senza il significato di numero di cicli al secondo. Cosa intendono dire?
Subito dopo si dice che, rispetto alla variabile temporale discreta $n$, il segnale è periodico solo se la frequenza è un numero razionale $F_0=p/q$. Questo immagino che derivi dal fatto che, se la frequenza non fosse razionale, mettiamo che sia ad esempio naturale o intera, non otterremmo più un segnale periodico perchè il seno si annullerebbe sempre e il coseno oscillerebbe tra 1 e -1, giusto? Ma perchè non viene detto che può essere reale? Non potrebbe esistere un fattore del tipo $cos(\sqrt{2} 2 \pi n)$?
2) Subito dopo le definizioni precedenti, viene chiesto di trovare il periodo $N_0$ dell'oscillazione precendente. Io ho fatto in questo modo:
$x[n]=e^{j2 \pi F_0 n}=x[n + N_0]=e^{j2 \pi F_0 (n+N_0)}$, che possiamo scomporre in $e^{j2 \pi F_0 n}*e^{j2 \pi F_0 N_0}$.
A questo punto, l'uguaglianza precedente è verificata se e solo se l'esponenziale con $N_0$ diventa 1, ovvero se $N_0= 1 / F_0$. E' giusto?
3) Una condizione per l'esistenza della trasformata discreta di Fourier è l'assoluta sommabilità della sequenza, ovvero
$ sum_(-oo)^(+oo)|x[n]|<+oo $
Infatti essendo $|X (f)|=|sum_(-oo)^(+oo) x[n]e^{-j 2 \pi n f T} |<= sum_(-oo)^(+oo)| x[n]|$, ciò assicura la convergenza della serie.
Quale è la condizione che ci permette di portare il valore assoluto dentro la sommatoria? Non viene detto nulla a proposito. Si può fare sempre? Il fatto che ci sia il $<=$ deriva dal fatto che non moltiplichiamo più per l'esponenziale, vero? Il problema è che l'esponenziale è negativo, quindi al denominatore, quindi ancora togliendolo dal prodotto, il risultato non dovrebbe essere più grande?
4) Ultima cosa! Nella descrizione dei teoremi dulla trasf. discreta di fourier, in particolare quello della "modulazione", dice che data una funzione $X(f)$ periodica di periodo $1/T$, la funzione $X(f-f_0)$ ottenuta dopo la modulazione, è ottenuta traslando in frequenza la $X(f)$ di $f_0$. Inoltre, la $X(f-f_0)$ coincide con la funzione $X(f- |f_0|_{1/T})$ ottenuta traslando sempre la funzione $X(f)$ della quantità $|f_0|_{1/T}=f_0 - m/T $ dove $m=$int$(f_0 /( 1/T))$ ovvero $f_0$ modulo $1/T$. Che cosa significa? Non mi è chiaro niente di tutto ciò e non riesco minimamente ad immaginarlo graficamente. In particolare, perchè quella m è data da quella formula?
Spero tanto in un vostro aiuto più o meno tempestivo. Grazie in anticipo.
Risposte
1) in realtà puoi sempre considerare la frequenza $F_0$ espressa in termini di $1/s$: il fatto di normalizzare viene fuori dal momento che, considerando il tempo discretizzato $n\in NN$ si assume che tale valore "perda" la sua unità di misura e, di conseguenza, anche la frequenza "perde" la sua.
2) L'equazione che ricavi è $e^{j 2\pi F_0 N_0}=1$ la quale ha come soluzione $2\pi F_0 N_0=2k\pi,\ k\in ZZ$ e pertanto le soluzioni $N_0=k/{F_0}$ tra le quali vanno scelte solo quelle per cui $N_0$ risulta un numero naturale. In particolare, in relazione a quanto dicevi al punto 1), deve essere necessariamente $F_0=p/q$ razionale e quindi $N_0={kq}/p$ e pertanto devi scegliere il minomo valore intero $k$ tale che $kq$ sia multiplo intero di $p$.
3) La disuguaglianza triangolare ti è nota? In generale è sempre vero che $|\sum_{n=0}^\infty a_n|\le \sum_{n=0}^\infty |a_n|$. Inoltre, ti faccio presente che $|e^{jt}|=1$ per ogni $t\in RR$.
4) prova ad applicare le formule e a calcolare esplicitamente quello che richiedi e vedrai da dove escono questi valori.
2) L'equazione che ricavi è $e^{j 2\pi F_0 N_0}=1$ la quale ha come soluzione $2\pi F_0 N_0=2k\pi,\ k\in ZZ$ e pertanto le soluzioni $N_0=k/{F_0}$ tra le quali vanno scelte solo quelle per cui $N_0$ risulta un numero naturale. In particolare, in relazione a quanto dicevi al punto 1), deve essere necessariamente $F_0=p/q$ razionale e quindi $N_0={kq}/p$ e pertanto devi scegliere il minomo valore intero $k$ tale che $kq$ sia multiplo intero di $p$.
3) La disuguaglianza triangolare ti è nota? In generale è sempre vero che $|\sum_{n=0}^\infty a_n|\le \sum_{n=0}^\infty |a_n|$. Inoltre, ti faccio presente che $|e^{jt}|=1$ per ogni $t\in RR$.
4) prova ad applicare le formule e a calcolare esplicitamente quello che richiedi e vedrai da dove escono questi valori.
1) Ottima spiegazione.
2) La prima volta che ho risolto questo piccolo esercizio, l'ho fatto proprio come hai fatto adesso tu, ma mi è sfuggito il fatto che $N_0$ deve essere intero, quindi $kq$ multiplo intero di $p$. Oggi quando ho scritto sul forum ho tralasciato tutto il resto e ho considerato solo il caso per $k=1$. Sorry
3) Hai davvero ragione! Non ci avevo fatto caso che quella è la disuguaglianza triangolare, e non ho pensato nemmeno che il valore assoluto dell'esponenziale complesso è $1$ essendo il modulo e quindi la somma del coseno al quadrato più il seno al quadrato
4) Praticamente vuoi dire che devo sostituire $m$ nella formula e vedere cosa esce fuori? Se provo a sostituire $m$ nella formula di $|f_0|_{1/T}$, ottengo $0$, visto che $f_0 - (f_0 /{ 1/T} )/T = f_0 - f_0$. Quindi ottengo $X(f - 0)=X(f)$, giusto? Ma loro dicono che è uguale a $X(f-f_0)$ e non a $X(f)$. Scusa, ma non ho capito bene cosa fare
2) La prima volta che ho risolto questo piccolo esercizio, l'ho fatto proprio come hai fatto adesso tu, ma mi è sfuggito il fatto che $N_0$ deve essere intero, quindi $kq$ multiplo intero di $p$. Oggi quando ho scritto sul forum ho tralasciato tutto il resto e ho considerato solo il caso per $k=1$. Sorry
3) Hai davvero ragione! Non ci avevo fatto caso che quella è la disuguaglianza triangolare, e non ho pensato nemmeno che il valore assoluto dell'esponenziale complesso è $1$ essendo il modulo e quindi la somma del coseno al quadrato più il seno al quadrato
4) Praticamente vuoi dire che devo sostituire $m$ nella formula e vedere cosa esce fuori? Se provo a sostituire $m$ nella formula di $|f_0|_{1/T}$, ottengo $0$, visto che $f_0 - (f_0 /{ 1/T} )/T = f_0 - f_0$. Quindi ottengo $X(f - 0)=X(f)$, giusto? Ma loro dicono che è uguale a $X(f-f_0)$ e non a $X(f)$. Scusa, ma non ho capito bene cosa fare
Guarda che in generale $f_0/(1/T)$ non è un numero intero, mentre $m$ deve esserlo. E pertanto non è sempre vero che $f_0-m/T=0$!
Si, ho capito il perchè della presenza della parte intera, ma non ho capito molto il significato della formula, o meglio, mi piacerebbe avere una rappresentazione grafica del concetto. Se osservo la formula, capisco che anzichè ritardare il segnale di $f_0$ lo ritardo di un po meno se $m/T$ è maggiore di 0 e un po di più se è minore di zero. Inoltre, essendo $m=$int$f_0 / {1/T}$, questo valore $m$ sarà 0 per tutti i valori di $f_0 < 1/T$ mentre sarà 1, 2, 3... all'aumentare di $f_0$ rispetto a $1/T$. Ciò significa che noi ritardiamo il segnale della frequenza $f_0$ e poi lo anticipiamo di $m/T$ ( quindi un multiplo del periodo), ma non riesco a capire il perchè $X(f-f_0)= X(f-|f_0|_{1/T})$. Vorrei avere un esempio grafico per capire il concetto 
UP!! 
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