Ancora disequazioni --- con parametro

[Sk_Anonymous]

sto cercando qualche metodo per fare questo esercizio; graficamente ho già trovato che la disequazione non ha soluzioni per C maggiore o uguale a un certo valore. una spintarella?

studiare la disequazione $log_10x>cx^2$ al variare di $c in RR$

[Luca.Lussardi]

Prova a considerare la funzione $f(x)=log_(10) x-cx^2$ e vedere dove è positiva. Sai come si comporta per $x->0^+$, vedi se cresce...

[_nicola de rosa]

Un tale problema è analogo a quello assegnato quest'anno alla maturità:
innanzitutto bisogna trovare c tale che le due curve siano tangenti. Chiamiamo c' tale c. Tale c' se non ho fatto male i calcoli è pari a c'=1/(2eln10)
Ora se c>c' allora la disequazione non è mai verificata non essendoci alcun punto in comune tra le curve ed essendo la parabola cx^2 al di sopra della funzione log_10x
Se 0Se invece c<0 l'intersezione tra le curve è una sola, chiamiamola x3>0, e la disequazione è vera per x>x3.

[Sk_Anonymous]

la mia funzione $f(x)=log_10x-cx^2$ non mi sembra molto facile studiare il suo segno;
supponendo c positivo è sicuramente negativa per 0
$lim_(x->0^+)f(x)=-oo
$lim_(x->+oo)f(x)=-oo
sembra avere un andamento irregolare ma presenta dei punti estremanti
$f'(x)=1/x-2cx=0hArrx=-1/(sqrt(2c))vvx=1/(sqrt(2c))

per c<0 le funzione è crescente e non presenta punti critici.
non sono cmq in grado di interpretare questi dati.

piuttosto posso dire che $AA c<0 EE x_c in {(x,y)inRR^2|y=log_10x}nn{(x,y)inRR^2|y=cx^2}$tale che ${x|x>x_c}sube{x|log_10x>cx^2}$

[Sk_Anonymous]

ed $EE! c' in RR^+|{(x,y)inRR^2|y=log_10x}nn{(x,y)inRR^2|y=c'x^2}={(x',f(x'))}
se $c>c' rArr {x inRR|log_10x>cx^2}=O/
se $0cx^2}=(x_1,x_2)

[Sk_Anonymous]

nicasamarciano come fai a trovare il valore di c'???

[_nicola de rosa]

Sia (x0,y0) il punto di tangenza. Allora questo significa che la retta tangente alle due curve in (x0,y0) è la stessa. Quindi innanzitutto dobbiamo imporre che il coefficiente angolare della retta tangente in x0 sia lo stesso: il coefficiente angolare non è altro che la derivata della funzione valutata in x0. Imponendo ciò si trova:
1/(x0*ln10)=2*c*x0 e da ciò c=1/(2ln10*(x0)^2)
Poichè il punto (x0,y0) è comune ad ambo le curve, questo significa che:
log_10x0=c(x0)^2
Prendendo il valore di c=1/(2ln10*(x0)^2) si arriva a tale equazione:

log_10x0=1/(2ln10). Poichè log_10x0=lnx0/ln10 si ha:
lnx0=1/2 da cui x0=sqrt(e) e da cui c=1/(2eln10)

Ora al variare di c tale funzione cambia comportamento:
se c>1/(2eln10) la parabola si allontana velocemente dalla curva logaritmica perchè diverge più velocemente per cui la parabola sta sempre al di sopra di log_10x e la disequazione non è mai soddisfatta
Se 00, e la disequazione è vera per x>x3.

Una volta detto ciò si puo ragionare sul grafico, decidendo innanzitutto il valore di c che si vuole considerare.
Chiaro^
Fammi sapere.
Ciao

[_nicola de rosa]

Studiamo allora la funzione f(x)=log_10x-cx^2 nel caso c>1/(2eln10)
Dominio: x>0
Intersezioni assi x ed y: non ci sono
Positività: per quanto detto la funzione log_10x-cx^2 è sempre negativa
Asintoto verticale x=0. Infatti lim (x->0+)f(x)=-oo
Non ci sono asintoti orizzontali e obliqui. Infatti limx->+oo(f(x))=-oo perchè la parabola è un infinito di ordine superiore al logaritmo
Crescenze e decrescenza: f'(x)=1/(x*ln10)-2cx=(1-2cln10*x^2)/(x*ln10) da cui si deduce che la funzione ha un massimo in x=sqrt(1/(2c*ln10))

Caso 0
Vale quanto detto sopra , cambia l'intersezione con gli assi e la positività. Infatti la f(x) si annulla in due valori, x1 (più piccolo) ed x2, entrambi valori positivi. Per cui la funzione risulta essere positiva per x1.
Poi tutto si ripete per quanto riguarda asintoti e monotonia.

Caso c<0
In tal caso le due curve presentano una intersezione x3>0. Il dominio non cambia, l'asintoto verticale è sempre lo stesso, e la funzione f(x)log_10x-cx^2 è positiva per x>x3.In tal caso limx->+oo(f(x))=+oo
Inoltre dallo studio della derivata, essendo c<0 si ricava che la funzione è sempre crescente nel suo dominio. Analizzando la derivata seconda si trova che il punto di ascissa x=sqrt(1/(2|c|ln10) è l'ascissa di un flesso

[Luca.Lussardi]

Il tuo ragionamento probabilmente dà una soluzione corretta, ma non è rigoroso; fai discorsi troppo legati a intuizioni sull'andamento dei grafici delle due funzioni in oggetto.

L'unico punto che hai effettivamente accertato in modo preciso è che se esiste una tangente in comune allora il punto di tangenza è l'unica intersezione tra le due curve, ma questo segue dal fatto che una è convessa e l'altra è concava, essendo $c>0$, e quindi i grafici stanno da parti opposte rispetto alla tangente.

Rimane aperta ancora la trattazione rigorosa per gli altri valori di $c$.

[_nicola de rosa]

"Luca.Lussardi":Il tuo ragionamento probabilmente dà una soluzione corretta, ma non è rigoroso; fai discorsi troppo legati a intuizioni sull'andamento dei grafici delle due funzioni in oggetto.

L'unico punto che hai effettivamente accertato in modo preciso è che se esiste una tangente in comune allora il punto di tangenza è l'unica intersezione tra le due curve, ma questo segue dal fatto che una è convessa e l'altra è concava, essendo $c>0$, e quindi i grafici stanno da parti opposte rispetto alla tangente.

Rimane aperta ancora la trattazione rigorosa per gli altri valori di $c$.

Quanto dici potrebbe essere vero: ma è logico ed intuitivo che se c>c' la funzione logaritmica rimane come è mentre la parabola si restringe e diverge più rapidamente. Non è intuizione ma è anche una proprietà delle parabole del tipo cx^2: al crescere di c>0 la parabola si restringe e diverge più rapidamente

[Luca.Lussardi]

Questo va bene, ma va detto meglio: ovvero se $c'>c$ allora $c'x^2>cx^2$ per ogni $x$ e quindi la disequazione non è mai verificata.

Il caso $c

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[Luca.Lussardi]

Va quasi bene; l'ultima cosa: come fai a dire che la $f$, nell'ultimo caso, ha solo due zeri?

[_nicola de rosa]

"Luca.Lussardi":Va quasi bene; l'ultima cosa: come fai a dire che la $f$, nell'ultimo caso, ha solo due zeri?

Caro Luca hai perfettamente ragione; provo tuttavia a fare un discorso.
Se 00, e dal momento che la parabola cresce più velocemente del logaritmo, allora la funzione parabola tende all'infinito più velocemente del logaritmo e quindi ci dovrà essere per tale ragione un'ascissa in corrispondenza della quale la parabola si allontana più velocemente del logaritmo. Cioè lim(x->+oo)log_10x=+oo, lim(x->+oo)cx^2=+oo, ma lim x->+oo (log_10x/cx^2)=0 per ogni c>0.
Va bene?

[Luca.Lussardi]

Va bene come intuito, ma volevo che mi tirassi fuori il vero strumento dell'Analisi che si usa in questi casi; ve lo mostro io allora.

Dunque, la funzione in oggetto era $f(x)=log_(10)x-cx^2$, per $00$, e, date le condizioni su $c$, risulta $f(x_M)>0$. Inoltre $f(x)->-\infty$ per $x->0^+$ e $x->+\infty$. Essendo quindi $f$ monotona in $(0,x_M)$, $f$ ha un solo zero in $(0,x_M)$, per il Teorema degli zeri (eccolo lo strumento!), e analogamente essendo monotona ha un solo zero in $(x_M,+\infty)$.

[_nicola de rosa]

"nicasamarciano":Studiamo allora la funzione f(x)=log_10x-cx^2 nel caso c>1/(2eln10)
Dominio: x>0
Intersezioni assi x ed y: non ci sono
Positività: per quanto detto la funzione log_10x-cx^2 è sempre negativa
Asintoto verticale x=0. Infatti lim (x->0+)f(x)=-oo
Non ci sono asintoti orizzontali e obliqui. Infatti limx->+oo(f(x))=-oo perchè la parabola è un infinito di ordine superiore al logaritmo
Crescenze e decrescenza: f'(x)=1/(x*ln10)-2cx=(1-2cln10*x^2)/(x*ln10) da cui si deduce che la funzione ha un massimo in x=sqrt(1/(2c*ln10))

Caso 0
Vale quanto detto sopra , cambia l'intersezione con gli assi e la positività. Infatti la f(x) si annulla in due valori, x1 (più piccolo) ed x2, entrambi valori positivi. Per cui la funzione risulta essere positiva per x1.
Poi tutto si ripete per quanto riguarda asintoti e monotonia.

Caso c<0
In tal caso le due curve presentano una intersezione x3>0. Il dominio non cambia, l'asintoto verticale è sempre lo stesso, e la funzione f(x)=log_10x-cx^2 è positiva per x>x3.In tal caso limx->+oo(f(x))=+oo
Inoltre dallo studio della derivata, essendo c<0 si ricava che la funzione è sempre crescente nel suo dominio. Analizzando la derivata seconda si trova che il punto di ascissa x=sqrt(1/(2|c|ln10) è l'ascissa di un flesso

In conclusione ecco lo studio della funzione al variare di c.

[Luca.Lussardi]

Sì, l'ho letta. Ribadisco che manca la giustificazione del fatto che le intersezioni con l'asse $x$ sono solo due.

[_nicola de rosa]

"Luca.Lussardi":Sì, l'ho letta. Ribadisco che manca la giustificazione del fatto che le intersezioni con l'asse $x$ sono solo due.

Non l'ho messa perchè l'abbiamo spiegata nei post precedenti, io intuitivamente e tu rigorosamente.

[Sk_Anonymous]

molto molto interessante... mi spiegate ragazzi che cosa significa andare a studiarsi la funzione $f(x)=log_10x-cx^2$??

[Luca.Lussardi]

Studio analitico di funzione... mi sembra scontata come risposta.

[Sk_Anonymous]

eheh... è una cosa un po' nuova per me!! mi ha colpito soprattutto il metodo di calcolo del valore particolare di c per il quale le due curve sono tangenti
questa sì che è vera matematica. sono molto contento

[_nicola de rosa]

Se ti interessa, un tale problema è stato assegnato alla maturità quest'anno per cui se devi sostenere la maturità preparati....