Ancora derivate

[attila3]

1) verificare che la funzione:
p(x)= a con 0+a con 1*(x-c)+a con 2*(x-c)^2+...+acon n*(x-c)^n
la derivata j-esima (per j= 1, 2, ..., n) calcolata in x con 0=c è D^j*(p(c))=j!a con j = (1*2*3*...*(j-1)*j)a con j

2) si mostri che la derivata di una funzione pari è una funzione dispari.
suggerimento: se f è pari, allora f(x)= f(-x) per ogni x. Quindi in particolare f(-x)-f(-a) tutto fratto (-x)-(-a)= f(x)-f(a)
tutto fratto x-a.
quindi la derivata prima??





Modificato da - attila il 15/03/2004 20:08:50

[Sk_Anonymous]

1)Sia :p(x)=
A0+A1*(x-c)+A2*(x-c)^2+..+Aj*(x-c)^j+A(j+1)*(x-c)^(j+1)+..+An(x-c)^n
Derivando j volte, i termini di grado Aj*j*(j-1)*(j-2)*..*3*2*1+A(j+1)*j*(j+1)*...*2*(x-c)+..+(An)*n*(n-1)*..*(n-j+1)*(x-c)^(n-j).
Se ora poniamo in questa formula x=c si vede che l'unico
termine che resta e' il primo,dunque:
p'(c)=Aj*j! ( c.v.d).
2) Se f(x) e' pari (cioe' se f(x)=f(-x)) si ha ,come hai
scritto anche tu:
(f(x)-f(a))/(x-a)=(f(-x)-f(-a))/(x-a)
che si puo' scrivere cosi':
(f(x)-f(a))/(x-a)=-(f(-x)-f(-a))/((-x)-(-a))
e passando al limite per x-->a (o cio' che e' lo stesso
per (-x)--->(-a)) risulta:
f'(a)=-f'(-a) e cio' prova che f'(x) e' dispari.
karl.