Ancora curve di livello...

[HowardRoark]

Scusate se oggi vi tartasso con quest'argomento, ma ho bisogno di capire se è un esercizio che riesco a svolgere con scioltezza o se commetto ancora banali errori.

Devo trovare le curve di livello di $f(x,y)=5((9x^2-4y^2)/36)^3$
Intanto il dominio di $f$ è $RR^2$

Quindi:
$5((9x^2-4y^2)/36)^3 = k <=> 5 (x^2/4 - y^2/9)^3=k <=> (x^2/4-y^2/9)^3 = k/5$. Ora, se $k=0$, estraendo il cubo ottengo: $x^2/4 - y^2/9 = 0 <=> y^2=9/4x^2 <=> y=3/2x$. Quindi, se $k=0$ ottengo una retta.

Se $k!=0$, ho che $root(3)(5/k) (x^2/4 - y^2/9) = 1$, e queste sono iperboli con i vertici sull'asse delle ascisse. Per $k=5$ ottengo $x^2/4-y^2/9 = 1$, ad esempio.
Mi sembra di aver svolto tutto correttamente, ma per sicurezza vi chiedo conferma siccome oggi sto facendo vari errori di distrazione.

[pilloeffe]

Ciao HowardRoark,

"HowardRoark":$ x^2/4−y^2/9=0\iff y^2=9/4 x^2 \iff y=3/2 x $. Quindi, se $k=0$ ottengo una retta.

Beh, direi due: c'è anche $y = - 3/2 x $

[HowardRoark]

Hai ragione, non ho pensato che $x$ ed $y$ possano essere anche negativi, cosa che mi obbliga a semplificare così: $sqrt(y^2) = sqrt(9/4x^2) <=> |y| = 3/2|x|$, così sono sicuro che quei due membri siano ancora non negativi.

[gugo82]

Se la vedi in maniera "dinamica", quando $k -> 0$ le curve di livello (che sono iperboli) si deformano "avvicinandosi" ai loro comuni asintoti, cioè le rette di equazioni $y=+- 3/2 x$; quindi la curva di livello per $k=0$ "deve" coincidere con quelle due rette e non c'è alcuna possibilità di averne solo una.


P.S.: Che rottura di balle il fatto che non funzioni più l'applet di GeoGebra, altrimenti mi sarei divertito.

[HowardRoark]

Un'interpretazione dinamica delle curve di livello è proprio qualcosa che mi servirebbe per visualizzare meglio la cosa. Ma questo vale per tutte le funzioni in due variabili che sto studiando, che spesso non ho la minima idea di che forma abbiano. Oggi ho letto incidentalmente che se la funzione "cresce" lentamente, all'aumentare di $k$ le curve di livello si diradano; al contrario, se cresce velocemente le curve di livello si infittiscono. A livello astratto faccio un po' fatica a capirne il motivo.

[gugo82]

Beh, prova a vedere cosa succede con funzioni di una sola variabile, le cui "curve" di livello sono punti sull'asse delle ascisse.

Ad esempio, le "curve" di livello di $f(x) = e^x$ (che cresce velocemente) sono i punti $x=log k$, che quando $k-> +oo$ si allontanano molto lentamente verso $+oo$; mentre le "curve" di livello di $g(x) = log x$ (che cresce lentamente) sono i punti $x=e^k$ che quando $k-> +oo$ si allontanano molto velocemente verso $+oo$.
Quindi se prendi $k in NN$, ossia $k=1,2,3,4,...$, vedi che le corrispondenti "curve" di livello di $f$ sono molto vicine tra loro (cioè "si addensano"), mentre le corrispondenti "curve" di livello di $g$ sono molto lontane tra loro (cioè "si diradano").