Ancora Cesaro: torna per caso o è corretto?

[kingworld]

Ho trovato un esercizio che recita:

"Sia $a_n$ una successione a valori non nulli tale che esiste il limite $\lim_{n \to \infty}|(a_(n+1))/(a_n)|=\lambda$
Dimostrare che
$\lambda<1 => a_n -> 0$
$\lambda>1 => |a_n| -> +oo$ "


Quello che ho fatto io è questo:

so che $\lim_{n \to \infty}(a_(n+1))/(a_n)=\lim_{n \to \infty}root(n)(a_n)$.

Poi dico che $\lim_{n \to \infty}a_n=x => \lim_{n \to \infty}|a_n|=|x|$, che nel caso in questione si applica a:

$\lim_{n \to \infty}|(a_(n+1))/(a_n)|=\lim_{n \to \infty}|root(n)(a_n)|=|\lambda|$

Quello che temo non sia corretto è il passo seguente:

$\lim_{n \to \infty}|root(n)(a_n)|=|\lambda| => \lim_{n \to \infty}|a_n|=\lim_{n\to\infty}|\lambda|^n$

Se fosse corretto a questo punto credo potrei semplicemente dire che se $\lambda>1$ allora $|\lambda|^n->+oo$, mentre se è minore di 1 tende a 0; a causa dell'uguaglianza $\lim_{n \to \infty}|a_n|=\lim_{n\to\infty}|\lambda|^n$, ottengo la tesi.

Il libro su cui studio da una soluzione completamente differente, ma vorrei sapere se questo mio approccio è corretto, può esserlo o non lo è mai...
Grazie

[Ariz93]

Ciao Michael la spiegazione che da il libro neanche a me piace voluto perché fa tendere \(\displaystyle h_n \) a zero senza un perché o per come (ho provato a mettergli un bound come fa nell`esercizio successivo nell'eserciziario del Giusti...ma non ho avuto tempo di finire, comunque riguardo al tuo passaggio non capisco come hai fatto comparire il limite di \(\displaystyle | \lambda | \) dal nulla...e poi vabbe che il limite è un operatore lineare....ma non chiediamogli troppo!!!

[Lory314]

"kingworld":Ho trovato un esercizio che recita:

"Sia $a_n$ una successione a valori non nulli tale che esiste il limite $\lim_{n \to \infty}|(a_(n+1))/(a_n)|=\lambda$
Dimostrare che
$\lambda<1 => a_n -> 0$
$\lambda<1 => |a_n| -> +oo$ "

1. Il secondo non dovrebbe essere $\lambda > 1$?.

2. Ma l'esercizio non è semplicemente l'enunciato del criterio del rapporto?

[gugo82]

In realtà Césaro non c'entra poi tanto...

Se \(0\leq \lambda <1\), per definizione di limite in corrispondenza di \(\varepsilon =\frac{1-\lambda}{2} >0\) esiste \(\nu\) tale che:
\[
\forall n\geq \nu,\quad \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \leq \lambda + \varepsilon = \underbrace{\frac{1+\lambda}{2}}_{=:\Lambda}\; ,
\]
da cui, per ricorrenza, segue:
\[
|a_n|\leq \Lambda\ |a_{n-1}|\leq\Lambda^2\ |a_{n-2}|\leq \Lambda^3\ |a_{n-3}|\leq \cdots \leq \Lambda^{n-\nu}\ |a_\nu| = \underbrace{\frac{|a_\nu|}{\Lambda^\nu}}_{=:C(\lambda)>0}\ \Lambda^n
\]
ossia \(|a_n|\leq C(\lambda)\ \Lambda^n\) per ogni \(n\geq \nu\). Dato che \(0<\Lambda <1\), la successione \((|a_n|)\) è definitivamente maggiorata da un multiplo della successione esponenziale infinitesima \((\Lambda^n)\); dunque la tesi del teorema si ottiene invocando il teorema dei carabinieri.

Allo stesso modo si ragiona per dimostrare la divergenza nel caso \(\lambda >1\) (basta prendere \(\varepsilon = \frac{\lambda -1}{2}\) ed usare la disuguaglianza \(\lambda-\varepsilon \leq |a_{n+1}|/|a_n|\) valida per \(n\geq \nu\)).

[Ariz93]

"gugo82":In realtà Césaro non c'entra poi tanto...

Se \(0\leq \lambda <1\), per definizione di limite in corrispondenza di \(\varepsilon =\frac{1-\lambda}{2} >0\) esiste \(\nu\) tale che:
\[
\forall n\geq \nu,\quad \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \leq \lambda + \varepsilon = \underbrace{\frac{1+\lambda}{2}}_{=:\Lambda}\; ,
\]
da cui, per ricorrenza, segue:
\[
|a_n|\leq \Lambda\ |a_{n-1}|\leq\Lambda^2\ |a_{n-2}|\leq \Lambda^3\ |a_{n-3}|\leq \cdots \leq \Lambda^{n-\nu}\ |a_\nu| = \underbrace{\frac{|a_\nu|}{\Lambda^\nu}}_{=:C(\lambda)>0}\ \Lambda^n
\]
ossia \(|a_n|\leq C(\lambda)\ \Lambda^n\) per ogni \(n\geq \nu\). Dato che \(0<\Lambda <1\), la successione \((|a_n|)\) è definitivamente maggiorata da un multiplo della successione esponenziale infinitesima \((\Lambda^n)\); dunque la tesi del teorema si ottiene invocando il teorema dei carabinieri.

Allo stesso modo si ragiona per dimostrare la divergenza nel caso \(\lambda >1\) (basta prendere \(\varepsilon = \frac{\lambda -1}{2}\) ed usare la disuguaglianza \(\lambda-\varepsilon \leq |a_{n+1}|/|a_n|\) valida per \(n\geq \nu\)).

Gugo grazie del bound!!! Il libro faceva senza e stavo impazzendo...

[kingworld]

"Ariz93": comunque riguardo al tuo passaggio non capisco come hai fatto comparire il limite di \(\displaystyle | \lambda | \) dal nulla...e poi vabbe che il limite è un operatore lineare....ma non chiediamogli troppo!!!

Si dimostrò a lezione tempo fa, in uno degli "incisi": se $a_n -> x$, allora $|a_n| -> |x|$, qualcuno mi corregga se sbaglio

"Lory314":1. Il secondo non dovrebbe essere $\lambda > 1$?.

2. Ma l'esercizio non è semplicemente l'enunciato del criterio del rapporto?

1. Sì, e difatti ho corretto, m'ero sbagliato, scusate :/

2. Ci sta, il fatto è che è la prima volta che sento nominare tale criterio... ci sta che l'esercizio consista nel dimostrarlo, anzi, evidentemente è così...

"Ariz93":[quote="gugo82"]In realtà Césaro non c'entra poi tanto...

Se ${0\leq \lambda <1}$, per definizione di limite in corrispondenza di ${\varepsilon =\frac{1-\lambda}{2} >0}$ esiste ${\nu}$ tale che:
${ \forall n\geq \nu,\quad \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \leq \lambda + \varepsilon = \underbrace{\frac{1+\lambda}{2}}_{=:\Lambda}\; , }$
da cui, per ricorrenza, segue:
${ |a_n|\leq \Lambda\ |a_{n-1}|\leq\Lambda^2\ |a_{n-2}|\leq \Lambda^3\ |a_{n-3}|\leq \cdots \leq \Lambda^{n-\nu}\ |a_\nu| = \underbrace{\frac{|a_\nu|}{\Lambda^\nu}}_{=:C(\lambda)>0}\ \Lambda^n }$
ossia ${|a_n|\leq C(\lambda)\ \Lambda^n}$ per ogni ${n\geq \nu}$. Dato che ${0<\Lambda <1}$, la successione ${(|a_n|)}$ è definitivamente maggiorata da un multiplo della successione esponenziale infinitesima ${(\Lambda^n)}$; dunque la tesi del teorema si ottiene invocando il teorema dei carabinieri.

Allo stesso modo si ragiona per dimostrare la divergenza nel caso ${\lambda >1}$ (basta prendere ${\varepsilon = \frac{\lambda -1}{2}}$ ed usare la disuguaglianza ${\lambda-\varepsilon \leq |a_{n+1}|/|a_n|}$ valida per ${n\geq \nu}$).

Gugo grazie del bound!!! Il libro faceva senza e stavo impazzendo...[/quote]

Premesso che non capisco cosa intendiate per bound, sì, quella è la soluzione del libro, passo più passo meno (anzi, il libro la espone meno formalmente, volendo), grazie
Però il mio "Cesaro", che ho visto non essere necessario, c'entra nel primo passaggio del mio metodo; in effetti il titolo del thread forse è infelice, visto che il dubbio non riguarda tanto il criterio di Cesaro in sé quanto quell'elevare alla $n$ e "aggiungere" un limite...

[Ariz93]

"kingworld":

Si dimostrò a lezione tempo fa, in uno degli "incisi": se $a_n -> x$, allora $|a_n| -> |x|$, [\quote]
Intendevo sul limite aggiunti non sul modulo, compare un limite per n a infinito di |lambda| che prima non c'era, non capisco con che criterio l'hai aggiunto.

[quote="Ariz93"][quote="gugo82"]In realtà Césaro non c'entra poi tanto...

Se ${0\leq \lambda <1}$, per definizione di limite in corrispondenza di ${\varepsilon =\frac{1-\lambda}{2} >0}$ esiste ${\nu}$ tale che:
${ \forall n\geq \nu,\quad \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \leq \lambda + \varepsilon = \underbrace{\frac{1+\lambda}{2}}_{=:\Lambda}\; , }$
da cui, per ricorrenza, segue:
${ |a_n|\leq \Lambda\ |a_{n-1}|\leq\Lambda^2\ |a_{n-2}|\leq \Lambda^3\ |a_{n-3}|\leq \cdots \leq \Lambda^{n-\nu}\ |a_\nu| = \underbrace{\frac{|a_\nu|}{\Lambda^\nu}}_{=:C(\lambda)>0}\ \Lambda^n }$
ossia ${|a_n|\leq C(\lambda)\ \Lambda^n}$ per ogni ${n\geq \nu}$. Dato che ${0<\Lambda <1}$, la successione ${(|a_n|)}$ è definitivamente maggiorata da un multiplo della successione esponenziale infinitesima ${(\Lambda^n)}$; dunque la tesi del teorema si ottiene invocando il teorema dei carabinieri.

Allo stesso modo si ragiona per dimostrare la divergenza nel caso ${\lambda >1}$ (basta prendere ${\varepsilon = \frac{\lambda -1}{2}}$ ed usare la disuguaglianza ${\lambda-\varepsilon \leq |a_{n+1}|/|a_n|}$ valida per ${n\geq \nu}$).

Gugo grazie del bound!!! Il libro faceva senza e stavo impazzendo...[/quote]

Premesso che non capisco cosa intendiate per bound, sì, quella è la soluzione del libro, passo più passo meno (anzi, il libro la espone meno formalmente, volendo), grazie
Però il mio "Cesaro", che ho visto non essere necessario, c'entra nel primo passaggio del mio metodo; in effetti il titolo del thread forse è infelice, visto che il dubbio non riguarda tanto il criterio di Cesaro in sé quanto quell'elevare alla $n$ e "aggiungere" un limite...[/quote]
Per bound intendo i carabinieri .
"Aggiungere " un limite, è questo che ti chiedevo prima, con che criterio lo fai???

[Lory314]

"kingworld":
2. Ci sta, il fatto è che è la prima volta che sento nominare tale criterio... ci sta che l'esercizio consista nel dimostrarlo, anzi, evidentemente è così...

Scusa se te lo chiedo, ma che corso di Laurea vieni? Che anno? E' solo per capire...
In ogni caso penso che in molti corsi di laurea nel primo corso di analisi vengano fatte le successioni e il criterio della radice e il criterio del rapporto sono argomenti che di solito vengono trattati. Con questo non voglio dirti che la tua dimostrazione sia sbagliata o cosa, ma poteva esserti d'aiuto per cercare informazioni a riguardo .

[kingworld]

"Ariz93":
Per bound intendo i carabinieri .
"Aggiungere " un limite, è questo che ti chiedevo prima, con che criterio lo fai???

Ah, ok. In effetti era quasi ovvio... vabbè.
Premesso che mi ispira relativamente, il fatto è che fin qui i passaggi mi sembrano legittimi:

"kingworld":so che $\lim_{n \to \infty}(a_(n+1))/(a_n)=\lim_{n \to \infty}root(n)(a_n)$.

Poi dico che $\lim_{n \to \infty}a_n=x => \lim_{n \to \infty}|a_n|=|x|$, che nel caso in questione si applica a:

$\lim_{n \to \infty}|(a_(n+1))/(a_n)|=\lim_{n \to \infty}|root(n)(a_n)|=|\lambda|$

dove il primo è giustificato da uno dei teoremi di Cesaro.

Poi però quando dico:

$\lim_{n \to \infty}|root(n)(a_n)|=|\lambda| => \lim_{n \to \infty}|a_n|=\lim_{n\to\infty}|\lambda|^n$

ho dei dubbi... posso elevare da ambo le parti per n?
Fosse un intero $p$ non avrei tutti questi dubbi, qualche pagina prima chiedeva proprio di dimostrare che

$\lim_{n \to \infty}a_n=x => \lim_{n \to \infty}root(p)(a_n)=root(p)(x)$

(o meglio, anche in questo caso un dubbio l'avrei: l'implicazione inversa, quando è possibile (salvo quindi argomenti negativi), è sempre valida? Mai? Talvolta?)
Ma supponendo che vada bene (in fondo si tratta di prendere i reciproci di p...), è possibile elevare proprio alla $n$, ciò che tende a infinito, senza combinare disastri?
SE lo fosse, allora direi che "aggiungere" il limite a destra è necessario, visto che altrimenti la $n$ perderebbe il suo tendere all'infinito, e avremmo un $|\lambda|^n$ in cui $n$ non è definito... mi parrebbe poco sensato. Da qui il mio "aggiungere" il limite.
Sinceramente ho più dubbi riguardo alla legittimità dell'elevare alla $n$ piuttosto che dell'aggiungere il "lim"...

"Lory314":[quote="kingworld"]
2. Ci sta, il fatto è che è la prima volta che sento nominare tale criterio... ci sta che l'esercizio consista nel dimostrarlo, anzi, evidentemente è così...

Scusa se te lo chiedo, ma che corso di Laurea vieni? Che anno? E' solo per capire...
In ogni caso penso che in molti corsi di laurea nel primo corso di analisi vengano fatte le successioni e il criterio della radice e il criterio del rapporto sono argomenti che di solito vengono trattati. Con questo non voglio dirti che la tua dimostrazione sia sbagliata o cosa, ma poteva esserti d'aiuto per cercare informazioni a riguardo .[/quote]

Primo anno di Fisica, e sono abbastanza certo che il criterio del rapporto non si sia fatto