Ancora analisi1: domani abbiamo l'esame!

[fabiolo82]

1) determinare al variare di k reale, il numero di soluzioni reali dell'equazione x^k=log(x)

2) studiare al variare d x reale, la convergenza della serie da n=2 -->inf di (2n+2)/n^x - (2n)/(n-1)^x

3) calcolare se esiste l'integrale improprio da 0-->inf di (2x^2*log(1+x^(-3)))/e^(1/x) dx.

4) studiare al variare d x reale, la convergenza della serie da n=1 -->inf di (n^x +4)^(1/2) - n^(x/2)

5) le numerose arcate della sagrada famiglia hanno il caratteristico profilo a forma di catenaria rovesciata. supponendo che tale profilo corrisponda alla parte contenuta nel semipiano x>0 della curva 2y+e^x+e^-x-6=0, se ne determini la lunghezza complessiva. si determini inoltre il volume della colonna ottenuta ruotando di un angolo giro la semi-arcata sinistra attorno all'asse x = -1+log(3-2*2^(1/2))

grazie

[Sk_Anonymous]

1)Distinguiamo tre casi:
a) k=0 (x>0)
in tal caso risulta 1=ln(x)-->x=e (una sola soluzione)
Negli altri due casi considero la funzione y=x^k-ln(x)
b)k<0 (x>0)
y=1/x^(-k)-ln(x)
per x-->0+ si ha :
limy=+inf+inf=+inf;
per x-->+inf si ha:
limy=0-inf =-inf
derivando:
y'=kx^(k-1)-1/x=(kx^(k)-1)/x; tale derivata ,per la
ipotesi fatta (k<0,x>0), e' negativa e pertanto la
funzione y passa dal valore +inf al valore -inf
decrescendo e pertanto si annulla una sola volta (una sola soluzione)

c)k>0 (x>0)
y= x^k -ln(x)

per x-->0+ si ha :limy=0+inf=+inf;
per x-->+inf si ha:limy =inf-inf=lim(x^k*(1-ln(x)/x^k))=+inf
derivando:
y'=kx^(k-1)-1/x=(kx^k-1)/x
y'>0 per x>(1/k)^(1/k)=x0. Ne segue che la y per x=x0 presenta un
minimo assoluto dato da m=(1+ln(k))/k.
Per k>1/e,poiche' tale minimo assoluto e' positivo ,la y passa
decrescendo da +inf ad m e poi crescendo da m a +inf e quindi
non si annulla mai (nessuna soluzione).
Invece per 0 vi saranno due soluzioni.
(Questi ragionamenti sono confermati dai grafici fatti con
Derive ,scegliendo valori particolari di k,
per es.: k=-2,-1/2,0,1/2,2 o altri a piacere)
P.S. Per gli altri esercizi ho delle soluzioni ( anche se parziali);
in serata vedo di completare .
karl.





Modificato da - karl il 18/12/2003 09:28:00

[Sk_Anonymous]

5)
y=3-(e^x+e^(-x))/2 oppure y=3-cosh(x);
studiando questa funzione si trova che il suo grafico
ha un massimo assoluto in (0,2) ed interseca l'asse x
nei punti (ln(3-2sqrt(2),0) e ln(3+2sqrt(2),0) ( e' una
sorta di parabola :fai il grafico per capire il seguito).
derivando: y'=-senh(x); quindi la lunghezza richiesta e':
l=int(sqrt(1+y'^2)dx,[0,ln(3+2sqrt(2))]=
int(cosh(x)dx,[0,ln(3+2sqrt(2))]=(sinh(x),[0,ln(3+2sqrt(2))]=
=2sqrt(2).L'intero arco e' il doppio.
Per il volume richiesto occorre trovare prima x in
funzione di y : x=arccosh(3-y).
Per una nota formula risulta .
V=pi*int(x^2*dy,[0,2])=pi*int((arccosh(3-y))^2dy,[0,2])=.....
pi=p-greca.
volume=2*pi*(-1+ln(3-2sqrt(2))^2-V;

4)
Considero tre casi:
a) x=0
la serie diventa
sommatoria(sqrt(5)-1) che chiaramente diverge.

b)x<0
la serie si puo' scrivere cosi':
sommatoria(sqrt(1/(n^(-x))+4)-sqrt(1/n^(-x))
Il termine generale non tende a zero ,infatti:
lim(sqrt(1/(n^(-x))+4)-sqrt(1/n^(-x))=2.
Non essendo soddisfatta la condizione necessaria
di convergenza, la serie diverge.

c)x>0
indicando con An il termine generale,risulta :
An=(n^x +4)^(1/2) - n^(x/2)e razionalizzando:
An=4/((n^x +4)^(1/2) + n^(x/2))
An<4/(n^(x/2) + n^(x/2)) cioe':
An<2/((n^(x/2))
quindi la serie e' minorante della serie armonica di esponente x/2;
com'e' noto detta serie converge per x/2>1 cioe' per x>2 e tale risulta anche la serie minorante.


2)questo esercizio e' simile al quarto e puo' essere trattato
in modo analogo.

(per forza di cose ho dovuto saltare qualche passaggio nei
calcoli,per la verita'piuttosto lunghi)

karl.











Modificato da - karl il 17/12/2003 21:42:17