Analsi Complessa: classificazione singolarità
Ciao a tutti, volevo chiedervi un parare. Ho trovato degli esercizi in cui devo classificare il tipo di singolarità di un funzione con variabile complessa. Devo, quindi, dire se \(\displaystyle z_{0} \) è una singolarità di tipo essenziale, se è eliminabile o se è un polo (non interessa l'ordine).
Dalla teoria so che posso ricavare ciò dallo sviluppo in serie di Laurent ma per quanto mi riguarda ci impiego troppo tempo, quindi lo scarto a priori. Un altro modo è fare il limite , in questo modo:
\(\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}} \lvert f(z) \rvert \)
E i casi sono:
0- Se il limite non esiste (quindi non è unico), \(\displaystyle z_{0} \) è una singolarità di tipo essenziale.
1- Se il limite esiste finito (anche zero?), \(\displaystyle z_{0} \) è una singolarità di tipo eliminabile.
2- Se il limite è \(\displaystyle \infty \), \(\displaystyle z_{0}\) è un polo.
Vi chiedo anzitutto se il modulo deve esserci e perchè (ho visto in alcuni casi che non lo mettono).
Ora vi propongo un esempio:
\(\displaystyle f(z) = \frac{\sin(z^{2}+1)}{z^{2} -1}*\cos(\frac{1}{z+i})\)
Scrivo:
Le singolarità che vedo sono: \(\displaystyle z = 1,z = -1,z = -i \)
\(\displaystyle \lim_{z\rightarrow 1} \begin{vmatrix} \frac{\sin(z^{2}+1)}{z^{2} -1}*\cos(\frac{1}{z+i}) \end{vmatrix} \)
Ora visto che è un prodotto ho separato i limiti:
\(\displaystyle \lim_{z\rightarrow 1} \begin{vmatrix} \frac{\sin(z^{2}+1)}{z^{2} -1} \end{vmatrix} * \lim_{z\rightarrow 1} \begin{vmatrix} \cos(\frac{1}{z+i}) \end{vmatrix} \)
Sviluppando il seno del primo limite con taylor noto che non si eliminerà mai il denominatore quindi quel limite va a infinito. Il secondo limite però visto che l'1 non è una sua singolarità dovrebbe venire un numero. Non l'ho calcolato ma se il primo limite viene infinito e il secondo un numero allora tutto il limite verrà infinito. Questo vuol dire che 1 è un polo.
Faccio così anche per le altre presunte singolarità e trovo che anche -1 è un polo. Con la singolarità "-i" ho un problema non riesco a svolgere il limite \(\displaystyle \lim_{z\rightarrow 1} \begin{vmatrix} \cos(\frac{1}{z+i}) \end{vmatrix} \) quindi non so classificarla.
Oltre a questo vorrei chiedervi se il procedimento, a meno di eventuali errori, è corretto. Esiste un terzo metodo che non conosco?
Grazie delle eventuali risposte.
Dalla teoria so che posso ricavare ciò dallo sviluppo in serie di Laurent ma per quanto mi riguarda ci impiego troppo tempo, quindi lo scarto a priori. Un altro modo è fare il limite , in questo modo:
\(\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}} \lvert f(z) \rvert \)
E i casi sono:
0- Se il limite non esiste (quindi non è unico), \(\displaystyle z_{0} \) è una singolarità di tipo essenziale.
1- Se il limite esiste finito (anche zero?), \(\displaystyle z_{0} \) è una singolarità di tipo eliminabile.
2- Se il limite è \(\displaystyle \infty \), \(\displaystyle z_{0}\) è un polo.
Vi chiedo anzitutto se il modulo deve esserci e perchè (ho visto in alcuni casi che non lo mettono).
Ora vi propongo un esempio:
\(\displaystyle f(z) = \frac{\sin(z^{2}+1)}{z^{2} -1}*\cos(\frac{1}{z+i})\)
Scrivo:
Le singolarità che vedo sono: \(\displaystyle z = 1,z = -1,z = -i \)
\(\displaystyle \lim_{z\rightarrow 1} \begin{vmatrix} \frac{\sin(z^{2}+1)}{z^{2} -1}*\cos(\frac{1}{z+i}) \end{vmatrix} \)
Ora visto che è un prodotto ho separato i limiti:
\(\displaystyle \lim_{z\rightarrow 1} \begin{vmatrix} \frac{\sin(z^{2}+1)}{z^{2} -1} \end{vmatrix} * \lim_{z\rightarrow 1} \begin{vmatrix} \cos(\frac{1}{z+i}) \end{vmatrix} \)
Sviluppando il seno del primo limite con taylor noto che non si eliminerà mai il denominatore quindi quel limite va a infinito. Il secondo limite però visto che l'1 non è una sua singolarità dovrebbe venire un numero. Non l'ho calcolato ma se il primo limite viene infinito e il secondo un numero allora tutto il limite verrà infinito. Questo vuol dire che 1 è un polo.
Faccio così anche per le altre presunte singolarità e trovo che anche -1 è un polo. Con la singolarità "-i" ho un problema non riesco a svolgere il limite \(\displaystyle \lim_{z\rightarrow 1} \begin{vmatrix} \cos(\frac{1}{z+i}) \end{vmatrix} \) quindi non so classificarla.
Oltre a questo vorrei chiedervi se il procedimento, a meno di eventuali errori, è corretto. Esiste un terzo metodo che non conosco?
Grazie delle eventuali risposte.
Risposte
Ciao,
Non so se avete visto questi teoremi, però è possibile caratterizzare le singolarità polari in altri modi:
Se "sospetti" che in $z_0$ ci sia una singolarità polare di ordine k (nel tuo caso peraltro semplici, cioè di ordine 1):
1) Deve valere:
$\lim_{z->z_0}(z-z_0)^kf(z) \ne 0$
2) Se $f(z)$ analitica ha uno zero in $z_0$ (di ordine k) allora $1/f(z)$ ha una singolarità polare in $z_0$ (di ordine k)
Il teorema che hai citato tu sulla verifica del tipo di singolarità non lo conosco personalmente ma perlomeno il primo caso non mi sembra corretto, se consideri $e^{-1/z^2}$ ha una singolarità essenziale in 0 eppure il limite esiste e vale pure 1.
Le singolarità in 1 e -1 sono effettivamente polari, per quella del coseno prova ad effettuare lo sviluppo in serie di taylor in un intorno di $-i$ (essendo quella funzione analitica in C escluso il punto $i$)
Non so se avete visto questi teoremi, però è possibile caratterizzare le singolarità polari in altri modi:
Se "sospetti" che in $z_0$ ci sia una singolarità polare di ordine k (nel tuo caso peraltro semplici, cioè di ordine 1):
1) Deve valere:
$\lim_{z->z_0}(z-z_0)^kf(z) \ne 0$
2) Se $f(z)$ analitica ha uno zero in $z_0$ (di ordine k) allora $1/f(z)$ ha una singolarità polare in $z_0$ (di ordine k)
Il teorema che hai citato tu sulla verifica del tipo di singolarità non lo conosco personalmente ma perlomeno il primo caso non mi sembra corretto, se consideri $e^{-1/z^2}$ ha una singolarità essenziale in 0 eppure il limite esiste e vale pure 1.
Le singolarità in 1 e -1 sono effettivamente polari, per quella del coseno prova ad effettuare lo sviluppo in serie di taylor in un intorno di $-i$ (essendo quella funzione analitica in C escluso il punto $i$)
Dalla teoria so che posso ricavare ciò dallo sviluppo in serie di Laurent ma per quanto mi riguarda ci impiego troppo tempo, quindi lo scarto a priori.
Te lo sconsiglio fortemente ,
certo se in un esercizio puoi risparmiare tempo utilizzando qualche "trucchetto" ben venga ,
ma arriverà anche quello da fare sviluppando la funzione in serie di Laurent , quindi sarebbe meglio saperli fare
..
Grazie ad entrambi per delle risposte.
No non li ho fatti ma non mi interessa, se li capisco posso usarli.
Quindi nel mio caso sospetto che ci sia una singolarità di ordine 1 in \(\displaystyle z_{0} = 1 \) devo fare:
\(\displaystyle \lim_{z\rightarrow 1} {(z-1)^{1} * \frac{\sin(z^{2}+1)}{z^2 -1} * \cos(\frac{1}{z+i})} \)
Però così magari si complica un po' i limite.
Ho provato a fare quel limite usando la definizione che ho postato con Wolfram alpha e mi restituisce 0. Inoltre http://www.wolframalpha.com/input/?i=discontinuity+e^%28-1%2F%28z^2%29%29
E ciò dovrebbe ricadere nel 2° caso in cui il limite esiste finito ed è quindi una singolarità di tipo eliminabile. Perchè tu dici che è essenziale? Come lo capisci?
Lo so fare ma il problema è che ci metto un sacco di tempo, sia per capire il grado della singolarità (io uso i limiti) e poi per il calcolo dei residui. Non vorrei perdere troppo con un solo esercizio, poi non mi rimane tempo per gli altri.
Grazie ancora!
Non so se avete visto questi teoremi..
No non li ho fatti ma non mi interessa, se li capisco posso usarli.
Quindi nel mio caso sospetto che ci sia una singolarità di ordine 1 in \(\displaystyle z_{0} = 1 \) devo fare:
\(\displaystyle \lim_{z\rightarrow 1} {(z-1)^{1} * \frac{\sin(z^{2}+1)}{z^2 -1} * \cos(\frac{1}{z+i})} \)
Però così magari si complica un po' i limite.
Ho provato a fare quel limite usando la definizione che ho postato con Wolfram alpha e mi restituisce 0. Inoltre http://www.wolframalpha.com/input/?i=discontinuity+e^%28-1%2F%28z^2%29%29
E ciò dovrebbe ricadere nel 2° caso in cui il limite esiste finito ed è quindi una singolarità di tipo eliminabile. Perchè tu dici che è essenziale? Come lo capisci?
Te lo sconsiglio fortemente ,
certo se in un esercizio puoi risparmiare tempo utilizzando qualche "trucchetto" ben venga ,
ma arriverà anche quello da fare sviluppando la funzione in serie di Laurent , quindi sarebbe meglio saperli fare
Lo so fare ma il problema è che ci metto un sacco di tempo, sia per capire il grado della singolarità (io uso i limiti) e poi per il calcolo dei residui. Non vorrei perdere troppo con un solo esercizio, poi non mi rimane tempo per gli altri.
Grazie ancora!
Ricordati che secondo quel teorema non è importante calcolare il valore ma solo sapere che sia diverso da 0!
$\lim_{z->1}(z-1)\frac{sin(z^2+1)}{(z-1)(z+1)}\cos(\frac{1}{z+i})=\lim_{z->1}\frac{sin(z^2+1)}{(z+1)}\cos(\frac{1}{z+i})$
Questo è il limite di una funzione continua senza indeterminazioni, quindi lo puoi calcolare facendo la sostituzione senza problemi: Il seno è sicuramente positivo (e reale), il denominatore è 2, il coseno è sicuramente diverso da 0...
$\lim_{z->1}(z-1)\frac{sin(z^2+1)}{(z-1)(z+1)}\cos(\frac{1}{z+i})=\frac{sin(2)}{(2)}\cos(\frac{1}{1+i}) \ne 0$
quindi quella è proprio una singolarità polare semplice!
Per il teorema che ti ho citato, se ti interessa, la dimostrazione è questa (personalmente i teoremi senza dimostrazioni li ricordo poco):
P.S. Se hai funzioni razionali fratte, o comunque dei polinomi al denominatore, quel teorema ti semplifica la vita e non poco, in quanto "ti porta via" la singolarità consentendoti di fare una bella semplificazione!
$\lim_{z->1}(z-1)\frac{sin(z^2+1)}{(z-1)(z+1)}\cos(\frac{1}{z+i})=\lim_{z->1}\frac{sin(z^2+1)}{(z+1)}\cos(\frac{1}{z+i})$
Questo è il limite di una funzione continua senza indeterminazioni, quindi lo puoi calcolare facendo la sostituzione senza problemi: Il seno è sicuramente positivo (e reale), il denominatore è 2, il coseno è sicuramente diverso da 0...
$\lim_{z->1}(z-1)\frac{sin(z^2+1)}{(z-1)(z+1)}\cos(\frac{1}{z+i})=\frac{sin(2)}{(2)}\cos(\frac{1}{1+i}) \ne 0$
quindi quella è proprio una singolarità polare semplice!
Per il teorema che ti ho citato, se ti interessa, la dimostrazione è questa (personalmente i teoremi senza dimostrazioni li ricordo poco):
P.S. Se hai funzioni razionali fratte, o comunque dei polinomi al denominatore, quel teorema ti semplifica la vita e non poco, in quanto "ti porta via" la singolarità consentendoti di fare una bella semplificazione!
Grazie della risposta e della dimostrazione, penso di aver capito.
E' vero, l'unica cosa è che devo capire da subito il grado della singolarità.
Grazie ancora!
P.S. Se hai funzioni razionali fratte, o comunque dei polinomi al denominatore, quel teorema ti semplifica la vita e non poco, in quanto "ti porta via" la singolarità consentendoti di fare una bella semplificazione!
E' vero, l'unica cosa è che devo capire da subito il grado della singolarità.
Grazie ancora!
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