Analogia tra spazi di Sobolev e R
Sto studiando alcuni concetti di analisi tra cui gli spazi di Sobolev, e per capire se ho capito vorrei proporvi l' analogia che mi è venuta in mente riguardo il completamento che produce appunto uno spazio di Sobolev.
Io ho preso l' insieme X:
$ X={u in C^1 : int_(a)^(b) |u|^p+|u'|^p dx < oo } $
Ovvero le funzioni $C^1$ e $L^p$ con derivata prima $L^p$ (per ora funzioni solo in $RR$).
Dunque, dato che X non è completo (?), indichiamo con $H^p$ in suo completamento che costruiamo al solito modo con classi di equivalenza ecc..
Questo è lo stesso procedimento per creare $RR$, ma dunque, così come ciò che aggiungiamo a $QQ$ per creare $RR$ sono i numeri irrazionali, posso affermare che a X abbiamo aggiunto sostanzialmente le distribuzioni, come la delta di dirac, per completarlo?
Dunque vuol dire che una successione $u_k$ di funzioni $C^1$ può effettivamente tendere ad una funzione $u$ però non differenziabile, e la cui "derivata" è il limite della successione $u_k'$ che è appunto una distribuzione, dunque non una funzione nel senso usuale.
Ho le idee abbastanza chiare?
Io ho preso l' insieme X:
$ X={u in C^1 : int_(a)^(b) |u|^p+|u'|^p dx < oo } $
Ovvero le funzioni $C^1$ e $L^p$ con derivata prima $L^p$ (per ora funzioni solo in $RR$).
Dunque, dato che X non è completo (?), indichiamo con $H^p$ in suo completamento che costruiamo al solito modo con classi di equivalenza ecc..
Questo è lo stesso procedimento per creare $RR$, ma dunque, così come ciò che aggiungiamo a $QQ$ per creare $RR$ sono i numeri irrazionali, posso affermare che a X abbiamo aggiunto sostanzialmente le distribuzioni, come la delta di dirac, per completarlo?
Dunque vuol dire che una successione $u_k$ di funzioni $C^1$ può effettivamente tendere ad una funzione $u$ però non differenziabile, e la cui "derivata" è il limite della successione $u_k'$ che è appunto una distribuzione, dunque non una funzione nel senso usuale.
Ho le idee abbastanza chiare?
Risposte
Assolutamente no.
Le funzioni di Sobolev in \(\mathbb{R}\) sono continue (è un abuso, perché come tutte le funzioni di \(L^p\) le Sobolev sono classi d'equivalenza, però rende bene l'idea), quindi non hanno salti. Pertanto le loro derivate deboli non contengono alcuna \(\delta\).
In altre parole, una funzione di tipo scalino, e.g. \(u(x) = \chi_{[1/2,1]}(x)\) (che ha il grafico riportato in figura), non è una funzione di \(W^{1,p}(0,1)\) per nessun \(p\in [1,\infty]\).
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=0; ymax=1;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; dot([0,0]); line([0,0],[0.5,0]); dot([0.5,1]); line([0.5,1],[1,1]); dot([1,1]);[/asvg]
Le funzioni di Sobolev in \(\mathbb{R}\) sono continue (è un abuso, perché come tutte le funzioni di \(L^p\) le Sobolev sono classi d'equivalenza, però rende bene l'idea), quindi non hanno salti. Pertanto le loro derivate deboli non contengono alcuna \(\delta\).
In altre parole, una funzione di tipo scalino, e.g. \(u(x) = \chi_{[1/2,1]}(x)\) (che ha il grafico riportato in figura), non è una funzione di \(W^{1,p}(0,1)\) per nessun \(p\in [1,\infty]\).
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=0; ymax=1;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; dot([0,0]); line([0,0],[0.5,0]); dot([0.5,1]); line([0.5,1],[1,1]); dot([1,1]);[/asvg]
Ok, allora giro la domanda: con cosa viene completato lo spazio X? ovvero cosa sono gli "equivalenti" dei numeri irrazionali nel completamento che porta allo spazio di sobolev?
Beh, ad esempio le funzioni con punti angolosi sono di Sobolev che non sono \(C^1\).
Per dirne una, la funzione:
\[
u(x)=\int_0^x \chi_{[1/2,1]}(t)\ \text{d} t =\begin{cases} 0 &\text{, se } 0\leq x\leq 1/2\\ x-1/2 &\text{, se } 1/2\leq x\leq 1\end{cases}
\]
il cui grafico è:
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=0; ymax=1;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; dot([0,0]); line([0,0],[0.5,0]); line([0.5,0],[1,0.5]); dot([1,0.5]);[/asvg]
è in \(W^{1,p}(0,1)\) per ogni \(p\in [1,\infty]\) ma non è \(C^1([0,1])\).
Anche \(u(x):=|x-1/2|\) è in \(W^{1,p}(0,1)\) per ogni \(p\in [1,\infty]\).
Anche alcune funzioni con punti di cuspide sono di Sobolev.
Ad esempio, la funzione \(u(x)=\sqrt[n]{|x-1/2|}\), il cui grafico è:
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=0; ymax=1;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; plot("(0.5-x)^(1/3)",0,0.5); plot("(x-0.5)^(1/3)",0.5,1);[/asvg]
ed ha una cuspide in \(1/2\), sta in \(W^{1,p}(0,1)\) per ogni \(1\leq p<\frac{n}{n-1}\), ma si guarda bene dall'essere \(C^1([0,1])\) (perché la derivata "esplode" in \(1/2\)).
O anche \(u(x):=\sqrt{1-(2x-1)^2}\) è in \(W^{1,p}(0,1)\) per ogni \(1\leq p<2\), ma non è in \(C^1([0,1])\) perché \(u^\prime\) "esplode" in \(0\) ed \(1\).
Per dirne una, la funzione:
\[
u(x)=\int_0^x \chi_{[1/2,1]}(t)\ \text{d} t =\begin{cases} 0 &\text{, se } 0\leq x\leq 1/2\\ x-1/2 &\text{, se } 1/2\leq x\leq 1\end{cases}
\]
il cui grafico è:
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=0; ymax=1;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; dot([0,0]); line([0,0],[0.5,0]); line([0.5,0],[1,0.5]); dot([1,0.5]);[/asvg]
è in \(W^{1,p}(0,1)\) per ogni \(p\in [1,\infty]\) ma non è \(C^1([0,1])\).
Anche \(u(x):=|x-1/2|\) è in \(W^{1,p}(0,1)\) per ogni \(p\in [1,\infty]\).
Anche alcune funzioni con punti di cuspide sono di Sobolev.
Ad esempio, la funzione \(u(x)=\sqrt[n]{|x-1/2|}\), il cui grafico è:
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=0; ymax=1;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; plot("(0.5-x)^(1/3)",0,0.5); plot("(x-0.5)^(1/3)",0.5,1);[/asvg]
ed ha una cuspide in \(1/2\), sta in \(W^{1,p}(0,1)\) per ogni \(1\leq p<\frac{n}{n-1}\), ma si guarda bene dall'essere \(C^1([0,1])\) (perché la derivata "esplode" in \(1/2\)).
O anche \(u(x):=\sqrt{1-(2x-1)^2}\) è in \(W^{1,p}(0,1)\) per ogni \(1\leq p<2\), ma non è in \(C^1([0,1])\) perché \(u^\prime\) "esplode" in \(0\) ed \(1\).
Ah ma allora aspetta, forse la mia era una semplice confusione tra le due cose...
E' giusto affermare che allora le funzioni "aggiunte" nel completamento sono le funzioni le cui derivate in senso debole non sono funzioni classiche bensì distribuzioni?
se è così effettivamente era il ragionamento che mi ero fatto ma prima l ho espresso davvero male e ora mi sarebbe tutto chiaro al 100%.
E' giusto affermare che allora le funzioni "aggiunte" nel completamento sono le funzioni le cui derivate in senso debole non sono funzioni classiche bensì distribuzioni?
se è così effettivamente era il ragionamento che mi ero fatto ma prima l ho espresso davvero male e ora mi sarebbe tutto chiaro al 100%.
"Daniele Florian":
Ah ma allora aspetta, forse la mia era una semplice confusione tra le due cose...
E' giusto affermare che allora le funzioni "aggiunte" nel completamento sono le funzioni le cui derivate in senso debole non sono funzioni classiche bensì distribuzioni?
Non ancora.
Le funzioni aggiunte sono precisamente quelle la cui derivata nel senso delle distribuzioni è una distribuzione regolare (il che esclude le funzioni con salti) che può essere rappresentata con una funzione di \(L^p\).
Già, avevo dimenticato delle funzioni con diversi tipi di non-derivabilità.
ok.
ora ci siamo.
ok.
ora ci siamo.
Ok, altra piccola questione:
il libro introduce gli spazi di Sobolev partendo dal problema, ovvero:
minimizzare l' integrale di Dirichlet:
$ int_(0)^(1) |u(x)|^2 dx $
con condizioni iniziali $u(0)=a$, $u(0)=b$, con a e b non nulli 0.
Bene, chiaramente si osserva che l' inf di tale funzionale è 0 ma nessuna funzione $C^1$ lo annulla.
Quindi si costruisce una successione minimizzante, e il limite è elemento del completamento che porta alla costruzione di $H^1$.
Mi chiedo: qual è questa funzione esattamente? Ovvero, molto semplicemente, qual' è l elemento di $H^1$, chiaramente non differenziabile, che risolve il nostro problema?
Perchè se non sbaglio tale funzione deve avere punti di non differenziabilità ma che non siano salti, dunque non riesco a trovarla esplicitamente...
grazie.
il libro introduce gli spazi di Sobolev partendo dal problema, ovvero:
minimizzare l' integrale di Dirichlet:
$ int_(0)^(1) |u(x)|^2 dx $
con condizioni iniziali $u(0)=a$, $u(0)=b$, con a e b non nulli 0.
Bene, chiaramente si osserva che l' inf di tale funzionale è 0 ma nessuna funzione $C^1$ lo annulla.
Quindi si costruisce una successione minimizzante, e il limite è elemento del completamento che porta alla costruzione di $H^1$.
Mi chiedo: qual è questa funzione esattamente? Ovvero, molto semplicemente, qual' è l elemento di $H^1$, chiaramente non differenziabile, che risolve il nostro problema?
Perchè se non sbaglio tale funzione deve avere punti di non differenziabilità ma che non siano salti, dunque non riesco a trovarla esplicitamente...
grazie.
Il funzionale che hai scritto il minimo ce l'ha, ed è la funzione nulla... Urge una corresione tipografica. 
Si, corretto, comunque a e b si intendono non nulli..
Quel funzionale non ha minimo nemmeno in \(H^1\): Infatti \(\int_0^1 |u|^2 = 0\) implica che \(u\) sia nulla q.o.; l'unica funzione (o meglio, l'unico rappresentante continuo nella classe di equivalenza) in \(H^1\) nulla q.o. è proprio la funzione nulla ovunque.
Per avere minimo dovresti minimizzare in \(BV\).
Per avere minimo dovresti minimizzare in \(BV\).
L' integrale è $int_(0)^(1)|u'|^2 dx$
Il minimo di quel funzionale è dato dalla funzione affine che raccorda i dati al bordo.
Di che libro stai parlando, tanto per contestualizzare la questione?
Di che libro stai parlando, tanto per contestualizzare la questione?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo