Analiticità di una funzione olomorfa
Salve a tutti,
volevo chiedervi una mano per la dimostrazione del seguente teorema.
Teorema
Sia f una funzione complessa definita in $Omega sube CC$ aperto. Tale funzione è analitica in $Omega$ se e solo se è ivi olomorfa.
Dimostrazione
C.N.
Hp: f è analitica in $Omega$
Ts: f è olomorfa in $Omega$
Dato che f è analitica, per ogni $z_0 in Omega$ esiste un cerchio $B_(delta)(z_0)$ e una serie di potenze di centro $z_0$ tali che
$f(z)=sum_(n=0)^(+oo) a_n (z-z_0 )^n$
Per un teorema precedente si ha che la funzione è olomorfa in $B_(delta)(z_0)$ e quindi in $Omega$.
C.S.
Hp: f è olomorfa in $Omega$
Ts: f è analitica in $Omega$
Sia $z_0 in Omega$ consideriamo il cerchio $B_(delta)(z_0)$ con $delta=dist(z_0,del Omega)$. Dobbiamo provare che la funzione è sviluppabile in serie di potenze nel cerchio dato. Fissato $z in B_(delta)(z_0)$ consideriamo il cerchio $B_(rho)(z_0)$ con $|z-z_0|
Dato che $ zeta in delB_(rho)(z_0)$ allora $|z-z_0|<|zeta-z_0|$
$1/(zeta-z)=1/(zeta-z_0+z_0-z)=1/(zeta-z_0-(z-z_0))=1/(zeta-z_0-(z-z_0))=1/(zeta-z_0) 1/(1-(z-z_0)/(zeta-z_0))=$
$=1/(zeta-z_0) sum_(n=o)^(+oo) ((z-z_0)/(zeta-z_0))^n$
Ciò che non capisco è l'ultimo passaggio effettuato. Penso gli autori del mio libro abbiano considerato il termine $1/(1-(z-z_0)/(zeta-z_0))$ come la somma di una serie geometrica di ragione compresa tra zero e uno, ma in campo complesso non si ha alcun ordinamento. Al massimo posso dire che $0<|z-z_0|/|zeta-z_0|<1$.
volevo chiedervi una mano per la dimostrazione del seguente teorema.
Teorema
Sia f una funzione complessa definita in $Omega sube CC$ aperto. Tale funzione è analitica in $Omega$ se e solo se è ivi olomorfa.
Dimostrazione
C.N.
Hp: f è analitica in $Omega$
Ts: f è olomorfa in $Omega$
Dato che f è analitica, per ogni $z_0 in Omega$ esiste un cerchio $B_(delta)(z_0)$ e una serie di potenze di centro $z_0$ tali che
$f(z)=sum_(n=0)^(+oo) a_n (z-z_0 )^n$
Per un teorema precedente si ha che la funzione è olomorfa in $B_(delta)(z_0)$ e quindi in $Omega$.
C.S.
Hp: f è olomorfa in $Omega$
Ts: f è analitica in $Omega$
Sia $z_0 in Omega$ consideriamo il cerchio $B_(delta)(z_0)$ con $delta=dist(z_0,del Omega)$. Dobbiamo provare che la funzione è sviluppabile in serie di potenze nel cerchio dato. Fissato $z in B_(delta)(z_0)$ consideriamo il cerchio $B_(rho)(z_0)$ con $|z-z_0|
Dato che $ zeta in delB_(rho)(z_0)$ allora $|z-z_0|<|zeta-z_0|$
$1/(zeta-z)=1/(zeta-z_0+z_0-z)=1/(zeta-z_0-(z-z_0))=1/(zeta-z_0-(z-z_0))=1/(zeta-z_0) 1/(1-(z-z_0)/(zeta-z_0))=$
$=1/(zeta-z_0) sum_(n=o)^(+oo) ((z-z_0)/(zeta-z_0))^n$
Ciò che non capisco è l'ultimo passaggio effettuato. Penso gli autori del mio libro abbiano considerato il termine $1/(1-(z-z_0)/(zeta-z_0))$ come la somma di una serie geometrica di ragione compresa tra zero e uno, ma in campo complesso non si ha alcun ordinamento. Al massimo posso dire che $0<|z-z_0|/|zeta-z_0|<1$.
Risposte
Dovrebbe esserti abbastanza noto che la serie geometrica \(\sum z^n\) converge per \(|z|<1\), ossia nel disco aperto \(D(0;1)\), verso la funzione \(\frac{1}{1-z}\). Inoltre la convergenza è totale sui compatti contenuti in \(D(0;1)\). 
Per i reali lo sapevo già. Mi interessava sapere se ciò era valido anche in campo complesso. Grazie 
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