[Analisi]Domanda su esercizio
Come posso risolvere un esercizio come questo??
Data le equazioni e le condizioni
1) $u^2(x)+2u(x)+3=sin(x)$ e $u(1)=3$
2) $exp(u(x)) + 2sin(u(x))+3=u^2(x)$ e $u(1)=0$
3) $sinh(u(x)-1)+u^3(x)=2x^2$ con $u(2)=1$
Che valore hanno
1)$u'(1)$
2)$u'(1)$
3)$u'(2)$
Ciauz
Data le equazioni e le condizioni
1) $u^2(x)+2u(x)+3=sin(x)$ e $u(1)=3$
2) $exp(u(x)) + 2sin(u(x))+3=u^2(x)$ e $u(1)=0$
3) $sinh(u(x)-1)+u^3(x)=2x^2$ con $u(2)=1$
Che valore hanno
1)$u'(1)$
2)$u'(1)$
3)$u'(2)$
Ciauz
Risposte
Ad esempio facciamo il primo:
Derivando ambo i membri (con le usuali regole di derivazione):
1) $2u(x)u'(x)+2u'(x)=cos(x)$
vale per ogni x, in particolare in 1, quindi
$2u(1)u'(1)+2u'(1)=cos(1)$ cioè (sfruttando $u(1)=3$) $6u'(1)+2u'(1)=cos(1)$
Da cui la soluzione...
Analogamente gli altri
Derivando ambo i membri (con le usuali regole di derivazione):
1) $2u(x)u'(x)+2u'(x)=cos(x)$
vale per ogni x, in particolare in 1, quindi
$2u(1)u'(1)+2u'(1)=cos(1)$ cioè (sfruttando $u(1)=3$) $6u'(1)+2u'(1)=cos(1)$
Da cui la soluzione...
Analogamente gli altri
"Gaal Dornick":
Ad esempio facciamo il primo:
Derivando ambo i membri (con le usuali regole di derivazione):
1) $2u(x)u'(x)+2u'(x)=cos(x)$
vale per ogni x, in particolare in 1, quindi
$2u(1)u'(1)+2u'(1)=cos(1)$ cioè (sfruttando $u(1)=3$) $6u'(1)+2u'(1)=cos(1)$
Da cui la soluzione...
Analogamente gli altri
a me nn torna...
EDIT: ma tu usi la regola $n[f(x)]^{n-1}f'(x)$ quindi?
Dovrebbe venire $u'(1)= \frac{cos(1)}{8}$, no?
Ciauz
"Luc@s":
EDIT: ma tu usi la regola $n[f(x)]^{n-1}f'(x)$ quindi?
Cosa c'è di male ad usarla?
[size=150]Se[/size] f è derivabile, allora la derivata di $[f(x)]^n$ è $n[f(x)]^{n-1}f'(x)$. Cosa avrebbe dovuto usare il povero Gaal Dornick o qualunque viandante che passasse di qui?
Piuttosto, io mi preoccuperei di più di quel "se" messo un po' in evidenza prima. Non trovo nel testo dell'esercizio l'ipotesi che $u$ sia derivabile. Non l'hai ristrascritta per distrazione, per pigrizia, o non c'è proprio?
"Fioravante Patrone":
Cosa c'è di male ad usarla?
[size=150]Se[/size] f è derivabile, allora la derivata di $[f(x)]^n$ è $n[f(x)]^{n-1}f'(x)$. Cosa avrebbe dovuto usare il povero Gaal Dornick o qualunque viandante che passasse di qui?
Piuttosto, io mi preoccuperei di più di quel "se" messo un po' in evidenza prima. Non trovo nel testo dell'esercizio l'ipotesi che $u$ sia derivabile. Non l'hai ristrascritta per distrazione, per pigrizia, o non c'è proprio?
sono tutte $C^1$... non l'ho messo perchè mi ero dimenticato
Occhio! E' una ipotesi essenziale, come spero sia evidente.
Scusate se mi intrometto - leggendo il testo ho l'impressione che si richiedesse di DIMOSTRARE l'esistenza (locale ??)
di una funzione $u(x)$ per cui (ad sempio nel caso 1) $u^2(x)+2u(x)+3=sin(x)$ e $u(1)=3$.
Posto allora $F(t)=t^2 +2t+3$ si tratta di risolvere $F(u(x)=sin(x))$ e $u(1)=3$.
Questo è quindi collegato con l'invertibilità della funzione $F(t)=t^2 +2t+3$ vicino la punto $t=3$ e la derivabilità
di $F^{-1}(s)$ per $s$ vicino a $F(3)$.
Mmmh, mentre scrivo mi rendo conto che così il problema (1) non è risolubile, dato che in $x=1$ viene
$9+6+3=\sin(1)$ -- forse ho capito male il problema. HELP
di una funzione $u(x)$ per cui (ad sempio nel caso 1) $u^2(x)+2u(x)+3=sin(x)$ e $u(1)=3$.
Posto allora $F(t)=t^2 +2t+3$ si tratta di risolvere $F(u(x)=sin(x))$ e $u(1)=3$.
Questo è quindi collegato con l'invertibilità della funzione $F(t)=t^2 +2t+3$ vicino la punto $t=3$ e la derivabilità
di $F^{-1}(s)$ per $s$ vicino a $F(3)$.
Mmmh, mentre scrivo mi rendo conto che così il problema (1) non è risolubile, dato che in $x=1$ viene
$9+6+3=\sin(1)$ -- forse ho capito male il problema. HELP
no... quello che mi hai detto mi è servitoun altro esempio era $u: RR \to RR$ di classe $C^1$
$u(x) + u^5(x)=x^4+1$ sapendo che $u(1)=1$ allora $u'(1) = 2/3$
Ciauz
$u(x) + u^5(x)=x^4+1$ sapendo che $u(1)=1$ allora $u'(1) = 2/3$
Ciauz
Luc@s,
le considerazioni di VGE sono interessanti. E non mi piace, riguardando il primo post, che tu parli di equazioni.
Trascrivi il testo esatto dell'esercizio, così che si possa discutere con cognizione di causa.
le considerazioni di VGE sono interessanti. E non mi piace, riguardando il primo post, che tu parli di equazioni.
Trascrivi il testo esatto dell'esercizio, così che si possa discutere con cognizione di causa.
"Fioravante Patrone":
Luc@s,
le considerazioni di VGE sono interessanti. E non mi piace, riguardando il primo post, che tu parli di equazioni.
Trascrivi il testo esatto dell'esercizio, così che si possa discutere con cognizione di causa.
il testo dell'esercizio e di trovare le detrminate $u'()$ in base ai dati forniti delle funzioni $C^1$ $u: RR \to RR$.
Solamente questo che fa parte di un test a risposta multipla(una delle 10 domande del testo dello scritto di analisi A)
Sorry per il termine comunque
Ciauz
Ti avevo chiesto: "Trascrivi il testo esatto dell'esercizio".
Bastava che rispondessi: "No, non ne ho voglia, non rompere".
Erga omnes: matematica è, anche, precisione. Quella che traspare da questi post di Luc@s non è sufficiente.
Bastava che rispondessi: "No, non ne ho voglia, non rompere".
Erga omnes: matematica è, anche, precisione. Quella che traspare da questi post di Luc@s non è sufficiente.
Il testo non dice molto di + di quanto non vi abbia detto...
"Luc@s":
Il testo non dice molto di + di quanto non vi abbia detto...
Strano però che con un testo così io mi ci ritrovo bene (sarà per via dei miasmi pavesi di analisi assorbiti tempo fa?). Lo stesso non posso dire con le tue versioni dell'esercizio. Dove dapprima ti dimentichi che la funzione data è derivabile (addirittura $C^1$). E dove tu avevi aggiunto cose che non c'entrano. Ad esempio hai parlato di equazione. Cosa che mi sorprendeva e, mi pare di capire, anche VGE.
Erga omnes, bis.
Ripeto, la matematica è (anche) precisione di linguaggio, di concetti, di terminologia, di notazioni. Chi studia in un corso di laurea di matematica farebbe bene a metterselo in testa. Non capire cosa diavolo è una equazione, come è provato dal fatto che se ne parli a sproposito è un filino grave... Dopo di che, chiunque è liberissimo di ignorare i consigli e le reprimende di un prof molto all'antica.
grazie per i consigli, ne farò tesoro
Ciauz
Ciauz
Assumendo che il testo quindi sia analogo a quello riportato sopra, per il primo degli esercizi proposti da Luc@s aveva ragione VGE ad avere dei dubbi.
Il problema è che si assume di avere una $u$ in $C^1(RR)$, t.c. (per ogni $x \in RR$) sia:
$u^2(x)+2u(x)+3=sin(x)$
e inoltre si assume $u(1)=3$
Ma, sostituendo nella identità data, si ha:
$3^2 + 2 \cdot 3 + 3 = sin(1)$
Ovvero, $18 = sin(1)$.
Visto che questa uguaglianza non potrà mai essere soddisfatta, se ne deduce che non esiste nessuna $u \in C^1(RR)$ che soddisfi l'identità data.
Insomma, la domanda 1 era un "imbroglio". Metto tra virgolette, in quanto era formalmente ineccepibile. L'esercizio dice: "data...". E quindi va letto, ovviamente, come: "se c'è una u soddisfacente le condizioni date, bla bla".
Parlo di "imbroglio" perché nel patto non scritto tra prof e stud di solito si assume che queste furbate non si facciano (all'esame. Farle in un esercizio va bene, irrobustisce lo stud).
Questo esercizio è carino perché uno non si accorge dello "imbroglio" se segue pedissequamente la procedura (buona, sia chiaro! Penso anche che sia sostanzialmente l'unica strada possibile) suggerita da Gaal Dornick per la soluzione.
Il problema è che si assume di avere una $u$ in $C^1(RR)$, t.c. (per ogni $x \in RR$) sia:
$u^2(x)+2u(x)+3=sin(x)$
e inoltre si assume $u(1)=3$
Ma, sostituendo nella identità data, si ha:
$3^2 + 2 \cdot 3 + 3 = sin(1)$
Ovvero, $18 = sin(1)$.
Visto che questa uguaglianza non potrà mai essere soddisfatta, se ne deduce che non esiste nessuna $u \in C^1(RR)$ che soddisfi l'identità data.
Insomma, la domanda 1 era un "imbroglio". Metto tra virgolette, in quanto era formalmente ineccepibile. L'esercizio dice: "data...". E quindi va letto, ovviamente, come: "se c'è una u soddisfacente le condizioni date, bla bla".
Parlo di "imbroglio" perché nel patto non scritto tra prof e stud di solito si assume che queste furbate non si facciano (all'esame. Farle in un esercizio va bene, irrobustisce lo stud).
Questo esercizio è carino perché uno non si accorge dello "imbroglio" se segue pedissequamente la procedura (buona, sia chiaro! Penso anche che sia sostanzialmente l'unica strada possibile) suggerita da Gaal Dornick per la soluzione.
"Fioravante Patrone":
Insomma, la domanda 1 era un "imbroglio". Metto tra virgolette, in quanto era formalmente ineccepibile. L'esercizio dice: "data...". E quindi va letto, ovviamente, come: "se c'è una u soddisfacente le condizioni date, bla bla".
Parlo di "imbroglio" perché nel patto non scritto tra prof e stud di solito si assume che queste furbate non si facciano (all'esame. Farle in un esercizio va bene, irrobustisce lo stud).
Interessante commento all'esercizio
"Fioravante Patrone":
Questo esercizio è carino perché uno non si accorge dello "imbroglio" se segue pedissequamente la procedura (buona, sia chiaro! Penso anche che sia sostanzialmente l'unica strada possibile) suggerita da Gaal Dornick per la soluzione.
Rivendendolo bene c'ero arrivato anche io alla tua conclusione.
Grazie ancora per le tue argute osservazioni
Ciauz
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