[Analisi]Classe $C$ di una funzione

[Luc@s]

Il nostro docente ci ha introdotto la classe $C^n$ come le funzioni derivabili continue fino alla derivata (parziale) n-esima.
Quindi, le funzioni di classe $C^1$ sono le continue con derivata prima o derivate parziali 1-esime.

Ma cosa si intende + genericamente con classe di funzione $C^n$ ???

P.S: il tutto è venuto fuori dal discorso Teorema del Dini(funzioni implicite)... molto interessante come argomento

[mate_1987]

le funzioni di classe C^n sono semplicemente funzioni derivabili n volte con derivate tutte continue....quindi le funzioni di classe C^1 sono funzioni continue e con derivata prima continua

[Camillo]

...mentre le funzioni di classe $C^0 $ sono quelle continue ma non derivabili , ad es $ y = |x| $ che è continua ma non derivabile in $ x =0 $ .

[zorn1]

Le funzioni continue si dicono di classe $C^0$.

Le funzioni con derivata prima continua sono di classe $C^1$.

Le funzioni con derivata n-esima continua sono di classe $C^n$.

Quindi è $C^0 supe C^1 supe C^2 supe ... supe C^n supe C^(n+1) supe ...$

Le funzioni con derivate di ordine comunque elevato sono di classe $C^(oo)$

$AA n in NN, C^n supe C^(oo)$

Le funzioni analitiche (= coincidenti con la loro serie di Taylor) si dicono di classe $C^(omega)$.

E', infine, $C^(oo) supe C^(omega)$

La cosa sorprendente è che, mentre nel campo reale le inclusioni sono tutte strette, nel campo complesso vale la notevolissima uguaglianza $C^1 = C^(omega)$!

[Luc@s]

"zorn":
La cosa sorprendente è che, mentre nel campo reale le inclusioni sono tutte strette, nel campo complesso vale la notevolissima uguaglianza $C^1 = C^(omega)$!

Davvero?

[pat871]

"Luc@s":[quote="zorn"]
La cosa sorprendente è che, mentre nel campo reale le inclusioni sono tutte strette, nel campo complesso vale la notevolissima uguaglianza $C^1 = C^(omega)$!

Davvero?[/quote]

Certamente!
In campo complesso, l'esistenza di una derivata di una funzione (in questo caso la funzione viene detta olomorfa o analitica) garantisce l'esistenza delle derivate successive, cosa che in R è inconcepibile! L'analisi complessa studia infatti come si comportano queste funzioni complesse "speciali" in un determinato dominio in C.

Ciao!

[Luc@s]

"pat87":

Certamente!
In campo complesso, l'esistenza di una derivata di una funzione (in questo caso la funzione viene detta olomorfa o analitica) garantisce l'esistenza delle derivate successive, cosa che in R è inconcepibile! L'analisi complessa studia infatti come si comportano queste funzioni complesse "speciali" in un determinato dominio in C.

Ciao!

ma che bello!
Che argomento interessante...

P.S: l'algebra rimane il mio campo preferito però

[pat871]

"Luc@s":

P.S: l'algebra rimane il mio campo preferito però

Wow! Ammirevole!
La teoria dei gruppi, degli anelli, e dei campi non è cosa affatto semplice a mio avviso! Ma forse sono io che non riesco in questa materia...

Ciao!

[Luc@s]

"pat87":
Wow! Ammirevole!
La teoria dei gruppi, degli anelli, e dei campi non è cosa affatto semplice a mio avviso! Ma forse sono io che non riesco in questa materia...

Ciao!

Gruppi, anelli, campi, ideali, omomorfismi(e derivati)... mi gasano troppo...
Analisi non mi spiace ma il mio cuore e nell'algebra

[fu^2]

"Luc@s":[quote="pat87"]

Certamente!
In campo complesso, l'esistenza di una derivata di una funzione (in questo caso la funzione viene detta olomorfa o analitica) garantisce l'esistenza delle derivate successive, cosa che in R è inconcepibile! L'analisi complessa studia infatti come si comportano queste funzioni complesse "speciali" in un determinato dominio in C.

Ciao!

ma che bello!
Che argomento interessante...

P.S: l'algebra rimane il mio campo preferito però [/quote]

che dimensione ha allora lo spazio vettoriale su questo tuo campo ?--

[Chevtchenko]

"Luc@s":Gruppi, anelli, campi, ideali, omomorfismi(e derivati)... mi gasano troppo...
Analisi non mi spiace ma il mio cuore e nell'algebra

D'altra parte l'analisi complessa è in un certo senso più algebrica/geometrica dell'analisi reale, e questo carattere si accentua ancor più nella teoria delle funzioni analitiche di più variabili complesse: si tratta di funzioni che, almeno localmente, si comportano quasi come polinomi, tant'è vero che gli strumenti dell'algebra commutativa cominciano a giocare un ruolo rilevante e la teoria stessa si avvicina notevolmente alla geometria algebrica.