Analisi2:teorema di Guldino, integrale curvilinio di una fdl
ciao a tutti,
mi potete aiutare con questi 3 esercizi:
1) calcolare il volume del solido che si ottiene con una rotazione completa, intorno all'asse x, dell'insieme del piano limitato dal segmento y=x x tra [0,1] e la curva y=x^4 x tra [0,1]
Io ho pensato di usare il Teorema di Guldino: (ordinata baricentro) x (angolo rotazione)x(area dominio piano) =$ 2 pi \int int y dxdy = int_{0}^{1} dx\int_{x^4}^{x} y dy = 3/10 $
Il dominio l'ho scritto come : ${ x in [0,1] , x^4<=y<=x}$
è giusto???
2) calcolare l'integrale curvilineo della forma differenziale ydz+zdx lungo il bordo della superficie x=-y^2-z^2+2, $x>=0$ e verificare il risultato di Stokes
L'esercizio parla di integrale curvilineo .... ma non è un integrale di superficie?? come faccio a calcolarlo come integrale curvilineo?
3) f=x|y| + y|x|
nell'aperto Q: $|x|<1$ $|y|<1$
Devo studiarne continuità e differenziabilità...
è continua ed uniformemente continua per Heine-C...
per dire che è diff volevo usare il teorema del differenziale totale... quando calcolo f_x e f_y però ho il dubbio se sia il caso di considerare i moduli (f_x=|y|+y oppure f_x=|y|+y|x|/x ) o no ( in R dove ci sono i moduli di solito vi sono discontinuità...).... come si fa?
mi potete aiutare con questi 3 esercizi:
1) calcolare il volume del solido che si ottiene con una rotazione completa, intorno all'asse x, dell'insieme del piano limitato dal segmento y=x x tra [0,1] e la curva y=x^4 x tra [0,1]
Io ho pensato di usare il Teorema di Guldino: (ordinata baricentro) x (angolo rotazione)x(area dominio piano) =$ 2 pi \int int y dxdy = int_{0}^{1} dx\int_{x^4}^{x} y dy = 3/10 $
Il dominio l'ho scritto come : ${ x in [0,1] , x^4<=y<=x}$
è giusto???
2) calcolare l'integrale curvilineo della forma differenziale ydz+zdx lungo il bordo della superficie x=-y^2-z^2+2, $x>=0$ e verificare il risultato di Stokes
L'esercizio parla di integrale curvilineo .... ma non è un integrale di superficie?? come faccio a calcolarlo come integrale curvilineo?
3) f=x|y| + y|x|
nell'aperto Q: $|x|<1$ $|y|<1$
Devo studiarne continuità e differenziabilità...
è continua ed uniformemente continua per Heine-C...
per dire che è diff volevo usare il teorema del differenziale totale... quando calcolo f_x e f_y però ho il dubbio se sia il caso di considerare i moduli (f_x=|y|+y oppure f_x=|y|+y|x|/x ) o no ( in R dove ci sono i moduli di solito vi sono discontinuità...).... come si fa?
Risposte
"silence1992":
2) calcolare l'integrale curvilineo della forma differenziale ydz+zdx lungo il bordo della superficie x=-y^2-z^2+2, $x>=0$ e verificare il risultato di Stokes
L'esercizio parla di integrale curvilineo .... ma non è un integrale di superficie?? come faccio a calcolarlo come integrale curvilineo?
Nulla di strano. La tua forma differenziale è una 1-forma differenziale in R3:
$x=−y^2−z^2+2$ si può parametrizzare come una 2-superficie in R3. Il suo bordo orientato è un incollamento di 1-superfici in $RR^3$ su cui puoi integrare la 1-forma $\omega(x,y,z) = y dz + z dx + 0 dy$.
"silence1992":
3) f=x|y| + y|x|
nell'aperto Q: $|x|<1$ $|y|<1$
Devo studiarne continuità e differenziabilità...
Potresti avere problemi di non-differenziabilità sui segmenti $\{0\} \times [-1,1]$ e $[-1,1] \times \{0\}$. Io darei una definizione di $f$ a toppe suddividendo $Q$ in quattro quadrati separati tra loro dagli assi cartesiani e studiando i due valori assoluti.
il primo esercizio?
invece per il secondo:
la fdl non è chiusa, allora non può exere esatta,
l'unica idea su come parametrizzare la superficie che mi è venuta è questa, ma non credo che è corretta
x=t^(1\2)
y=2^(1\2) sent
z=2^(1\2)cost
t tra [o, + +oo)
invece per il secondo:
la fdl non è chiusa, allora non può exere esatta,
l'unica idea su come parametrizzare la superficie che mi è venuta è questa, ma non credo che è corretta
x=t^(1\2)
y=2^(1\2) sent
z=2^(1\2)cost
t tra [o, + +oo)
Guarda che il bordo della superficie dell'esercizio 2 è:
$y^2+z^2=2, \ \ \ x=0$,
una banalissima circonferenza.
$y^2+z^2=2, \ \ \ x=0$,
una banalissima circonferenza.
Una parametrizzazione per la 2-superficie $\sigma : (0,1] \times [0 , 2 \pi] \to RR^3$ può essere:
$x = - \rho^2 + 2$
$y = \rho cos\theta$
$z = \rho sin\theta$
L'integrale della 1-forma sul bordo orientato di $\sigma$ è, per definizione, una somma di quattro integrali sulle immagini dei bordi del rettangolo $(0,1] \times [0 , 2 \pi]$ mediante $\sigma$; di questa somma solamente l'integrale sulla curva $\gamma$:
$x = 0$
$y = \sqrt{2} cos\theta$
$z = \sqrt{2} sin\theta$
con $\theta$ che va da $2 \pi$ a $0$ (se non erro).
Perciò, posto $F(x,y,z) = (z , 0, y)$:
\[\displaystyle \int_{\partial \sigma} z dx + y dz = \int_\gamma z dx + y dz = \int_{2 \pi}^0 F(\gamma(\theta)) \cdot \gamma'(\theta) d\theta \]
\[\displaystyle = \int_{2 \pi}^0 (\sqrt{2} \sin\theta , 0 , \sqrt{2} \cos\theta ) \cdot (0, - \sqrt{2} \sin\theta , \sqrt{2} \cos\theta ) d\theta \]
\[\displaystyle = \int_{2 \pi}^0 2 \cos^2 \theta d\theta = \left [ x - sin(2x) \right ]_{2 \pi}^0 = - 2 \pi \]
$x = - \rho^2 + 2$
$y = \rho cos\theta$
$z = \rho sin\theta$
L'integrale della 1-forma sul bordo orientato di $\sigma$ è, per definizione, una somma di quattro integrali sulle immagini dei bordi del rettangolo $(0,1] \times [0 , 2 \pi]$ mediante $\sigma$; di questa somma solamente l'integrale sulla curva $\gamma$:
$x = 0$
$y = \sqrt{2} cos\theta$
$z = \sqrt{2} sin\theta$
con $\theta$ che va da $2 \pi$ a $0$ (se non erro).
Perciò, posto $F(x,y,z) = (z , 0, y)$:
\[\displaystyle \int_{\partial \sigma} z dx + y dz = \int_\gamma z dx + y dz = \int_{2 \pi}^0 F(\gamma(\theta)) \cdot \gamma'(\theta) d\theta \]
\[\displaystyle = \int_{2 \pi}^0 (\sqrt{2} \sin\theta , 0 , \sqrt{2} \cos\theta ) \cdot (0, - \sqrt{2} \sin\theta , \sqrt{2} \cos\theta ) d\theta \]
\[\displaystyle = \int_{2 \pi}^0 2 \cos^2 \theta d\theta = \left [ x - sin(2x) \right ]_{2 \pi}^0 = - 2 \pi \]
Controlla bene se quello che ho scritto è convincente... 
"Seneca":
Controlla bene se quello che ho scritto è convincente...
perchè dici così?
cmq grazie , io avevo pensato a paraboloidi e roba simile, invece come ha detto Q... era abbastanza banale ahahah
Hai il risultato del 2) ? Per curiosità, per capire se "li conti tornano"...
infatti hai sbagliato, il parametro è tra $[0,2 \pi]$
puoi verificare facilmente l'errore, come dice l'esercizio tra l'altro, con il teorema di stokes:
$int_{S} d\sigma = int_{vartheta^+ S} F_1dx+ F_2 dy+ F_3 dz$
così la circuitazione Di F lungo il bordo la calcoli come il flusso del rotore del campo F attraverso la superficie
per S cmq è meglio parametrizzare in modo meno "invasivo" rispetto a come l'hai fatto tu, del tipo:
x=2-z^2-y^2
y=y
z=z
con z^2+y^2 >=2
puoi verificare facilmente l'errore, come dice l'esercizio tra l'altro, con il teorema di stokes:
$int_{S}
così la circuitazione Di F lungo il bordo la calcoli come il flusso del rotore del campo F attraverso la superficie
per S cmq è meglio parametrizzare in modo meno "invasivo" rispetto a come l'hai fatto tu, del tipo:
x=2-z^2-y^2
y=y
z=z
con z^2+y^2 >=2
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo