Analisi2

[Sk_Anonymous]

Risolvere la seguente equazione differenziale:
$y-logx-1+(x-e^(y-1))*y'=0$

$y(2)=log2+2$

Studiare differenziabilità e continuità in $O(0,0)$ della funzione:

$(x*y)/sqrt(x^2+y^2)$

Risolvere:

$intint_Darcsen(x^2+3y^2)dxdy$

ove $D={(x,y) in R^2: x^2+3y^2<=1,|x|<3y}.

[Sk_Anonymous]

Provo l'equazione diff.
Poniamo
y=lnx+1+t e derivando rispetto ad x : y'=1/x+t'
Pertanto avremo:
$t+[x-e^(t+lnx)]*(1/x+t')=0$
ovvero:
$t+x(1-e^t)*(1/x+t')=0$ da cui separando le variabili:
$-(1-e^t)/(1-e^t+t)dt=(dx)/x$
Integrando:
$lnC-ln(1-e^t+t)=lnx$ oppure
$x(1+t-e^t)=C$ e ritornando alla y
$x(y-lnx-e^(y-1-lnx))=C$
cioe'
$xy-xlnx-e^(y-1)=C$
Imponendo la condizione iniziale si trova che C=4-2e e pertanto
la soluzione finale e':
$xy-xlnx-e^(y-1)=4-2e$
karl

[Sk_Anonymous]

3°es.
Il dominio d'integrazione e' il settore dell'ellisse $x^2+3y^2=1$
situato nel semipiano $y>=0$ e limitato dalle rette x=-3y,x=+3y
Con la sostituzione $x=rhocostheta,y=rho/(sqrt3)sintheta$ il dominio diventa
$0 e quindi l'integrale L in questione e':
$L=1/(sqrt3)int_((pi)/6)^((5pi)/6)d theta int_0^1rho*(arcsinrho^2)drho$
Eseguita la facile integrazione (l'ultimo integrale si fa per parti) si trova:
$L=(pi(pi-2))/(6sqrt3)$
Siccome ho qualche dubbio, se qualche altro puo' confermare.
karl

[cavallipurosangue]

Non ho fatto i conti ma il procedimento è ok.

[Sk_Anonymous]

Non credo sia giusta l'equazione,si dovvrebbe risolvere con le forme differenziali

[PoppoGBR]

ragazzi sapete spiegarmi come si fa a trovare gli estremi di integrazione quando si ha un dominio come quello dell'esercizio qui proposto??? poi per trovare $ρ$ e $θ$ come faccio? potete spiegarmi per benino? vi ringrazio in anticipo

[_nicola de rosa]

"ENEA84":Risolvere la seguente equazione differenziale:
$y-logx-1+(x-e^(y-1))*y'=0$

$y(2)=log2+2$

Studiare differenziabilità e continuità in $O(0,0)$ della funzione:

$(x*y)/sqrt(x^2+y^2)$

Risolvere:

$intint_Darcsen(x^2+3y^2)dxdy$

ove $D={(x,y) in R^2: x^2+3y^2<=1,|x|<3y}.

1) La forma differenziale è
$omega=(y-logx-1)dx+(x-e^(y-1))dy$
Tale forma differenziale è esatta perchè $(d(y-logx-1))/dy=(d(x-e^(y-1)))/dx=1$, per cui possiamo trovarne una primitiva.
Detta $f$ una primitiva di $omega$ si ha:
$f_y= x-e^(y-1)$ da cui integrando rispetto ad $y$ si ha $f(x,y)=xy-e^(y-1)+c(x)$ con $c(x)$ da determinarsi. Ora derivando ambo i menbri rispetto ad $x$ ed imponendo che il risultato valga $(y-logx-1)$ si ha
$y+c'(x)=y-logx-1$ da cui $c'(x)=-logx-1$ da cui $c(x)=int(-logx-1)dx=-xlogx+k$ da cui
$f(x,y)=xy-e^(y-1)-xlogx+k$. Per cui va determinata $k$ tale che:
${(f(x,y)=xy-e^(y-1)-xlogx+k),(y(2)=2+log2):}$ da cui si ricava $2(log2+2)-e^(log2+1)-2log2+k=0$ da cui $k=2e-4$ per cui $f(x,y)=xy-e^(y-1)-xlogx+2e-4$
2) Vediamo la continuità in $(0,0)$. Vedere se è continua in $(0,0)$ è equivalente a vedere come si comporta lungo la retta $y=mx$ dal momento che $(0,0)$ vi appartiene. Allora lungo $y=mx$ si ha
$f(x,mx)=(m^2x^2)/(|x|sqrt(m^2+1))=(m^2|x|)/sqrt(m^2+1)$ e si nota come $AA m in RR$ $lim_(x->0^+)(m^2|x|)/sqrt(m^2+1)=lim_(x->0^-)(m^2|x|)/sqrt(m^2+1)=0$, per cui
$f(x,y)$ è continua in $(x,y)=(0,0)$ $<=>$ $f(0,0)=0$ ( ed è ovvio che se $f(0,0)!=0$ allora $f(x,y)$ non è continua in $(0,0)$ e quindi anche non differenziabile nello stesso punto.)
Ora per vedere la differenziabilità dobbiamo mostrare che
$lim_((x,y)->(0,0))(f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y)/(sqrt(x^2+y^2))=0$
Ora $f_x=y^3/(x^2+y^2)^(3/2)$ e $f_y=x^3/(x^2+y^2)^(3/2)$ ovviamente non definite nell'origine per cui
$f_x(0,0)=lim_(h->0)(f(h,0)-f(0,0))/h=lim_(h->0)0/h=0$ e analogamente $f_y(0,0)=lim_(k->0)(f(0,k)-f(0,0))/k=lim_(k->0)0/k=0$ per cui, essendo $f(0,0)=0$, dobbiamo verificare che
$lim_((x,y)->(0,0))f(x,y)/sqrt(x^2+y^2)=0$
La funzione $f(x,y)/sqrt(x^2+y^2)=((xy)/(x^2+y^2))$ lungo le rette $y=mx$ è costante e pari a $m^2/(m^2+1)$ e
$m^2/(m^2+1)!=0 AA m!=0$ per cui la funzione non è differenziabile in $(0,0)$

3) Mi trovo con Karl.

[Luca.Lussardi]

Anche il metodo di Karl per l'equazione va bene, risolverla per forme è solo una questione di "gusto", anzi personalmente mi piace di più la soluzione di Karl perchè ha visto il cambio di variabile giusto. Però mi pare che ci sia un errore di segno.

Per nicasamarciano: l'ultima graffa che hai scritto non è un problema di Cauchy.

[_nicola de rosa]

"Luca.Lussardi":Anche il metodo di Karl per l'equazione va bene, risolverla per forme è solo una questione di "gusto", anzi personalmente mi piace di più la soluzione di Karl perchè ha visto il cambio di variabile giusto. Però mi pare che ci sia un errore di segno.

Per nicasamarciano: l'ultima graffa che hai scritto non è un problema di Cauchy.

giusto

[Ravok]

"ENEA84":

Studiare differenziabilità e continuità in $O(0,0)$ della funzione:

$(x*y)/sqrt(x^2+y^2)$

Per studiare la continuità in (0,0) prendiamo
$lim_(x->0)x=lim_(rho->0)rho*cos(theta)$
$lim_(y->0)y=lim_(rho->0)rho*sen(theta)$

abbiamo allora:

$lim_((x,y)->(0,0))(x*y)/sqrt(x^2+y^2)=lim_(rho->0)(rho^2sen(theta)cos(theta))/(sqrt(rho^2(sen^2(theta)+cos^2(theta))=$
$=lim_(rho->0)(rho^2sen(theta)cos(theta))/rho=$
$=lim_(rho->0)rhosen(theta)cos(theta)= 0$
R

[Ravok]

Ovviamente avevo assunto che
$(x,y)!=(0,0)$....cioè che la nostra funzione per $(x,y)=(0,0)$ assumesse il valore $0$...
assumesse il valore 0...

[Inabi]

Hola!!!!
per la differenziabilità del secondo esercizio (la continuità la lascio a Ravok) devo fare le derivate parziali e vedere come sono(continue etc...) se derivo rispetto a x se non ho sbagliato risulta
$((y*sqrt(x^2+y^2)-(x*y*x/sqrt((x)^2+(y)^2)))/(((x)^2+(y)^2)$
Poi anche quella rispetto a y
$((x*sqrt(x^2+y^2)-(x*y*y/sqrt((x)^2+(y)^2)))/(((x)^2+(y)^2)$
Mi trovo bene soprattutto in questo caso a fare delle sostituzoni:
$x=r*cos(theta)$
$y=r*sin(theta)$
quindi diventano dopo sostituzioni e semplificazioni
$(r^2*sin(theta)-r^2*sin(theta)*cos(theta) *(r*cos(theta)/r))/r^2$ quindi

$(sin(theta)-*sin(theta)*cos(theta) *cos(theta)$
e infine
$(sin(theta))^3$
la seconda del tutto analoga e abbiamo
$(cos(theta))^3$
siccome analizziamo in (0,0) x e y tendono a 0, quindi facciamo il limete per x e y tendenti a 0 (quindi r tendente a 0) e vediamo subito che non dipende da r ma da che parte ci avviciniamo e come ci avviciniamo allo 0 (dipende solo da $theta$),
quindi in teoria, se i miei ricordi non fallano, sicuramente non è differenziabile in 0...
per una cosa un po meno grezza guardati la teoria che sicuramnte avrai fatto....Ciao